《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

4. (2024·清远模拟)【综合实践】如图,学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地ABC,为求得它的面积,学习小组设计了如下的一个方案:
①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆.
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点),记录如表:
|掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿)|100|200|500|1000|…|
|----|----|----|----|----|----|
|小石子落在圆内(含圆上)的次数m|32|63|153|305|…|
|小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数n|68|137|347|695|…|
|小石子落在圆内(含圆上)的频率|0.320|0.315|0.306|0.305|…|
【数学发现】
(1)若以小石子所落的有效区域为总数(即m + n),则表格中的数据x =0.305,随着投掷次数增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率稳定在0.3附近;(结果精确到0.1)
【结论应用】
(2)请你利用(1)中所得的频率值,估计整个封闭图形的面积是多少平方米.(结果保留π)

答案： 解:
(1) 0.305 0.3
(2)
∵ 圆的面积为 $\pi \times 1^{2} = \pi$ (平方米),
∴ 整个封闭图形的面积约为 $\pi \div 0.3 = \frac{10}{3}\pi$ (平方米).

5. (RJ九上P149)[π的估算]如图所示是一个由正方形和圆组合成的图形(正方形的边长等于圆的直径),随机地往正方形内投一粒米.
(1)落在圆内的概率为$\frac{\pi}{4}$.(结果保留π)
(2)随机撒一把米到画有该图形的白纸上,统计并计算落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n的比$\frac{m}{n}$,$\frac{m}{n}$和$\frac{\pi}{4}$之间有什么关系?求出π的近似值.(结果用含m,n的式子表示)
$\frac{m}{n}$和$\frac{\pi}{4}$的关系为$\frac{m}{n} = \frac{\pi}{4}$，π的近似值为$\pi = \frac{4m}{n}$.
(3)为了提高π的估计精度,你认为还可以怎么做?
可以增加试验次数(答案不唯一)

答案： 解:
(1) $\frac{\pi}{4}$
(2) $\frac{m}{n} = \frac{\pi}{4}$,
∴ $\pi = \frac{4m}{n}$.
(3) 为了提高 $\pi$ 的估计精度, 可以增加试验次数. (答案不唯一)