《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

11. 如图，在$□ ABCD$中，G是BC延长线上一点，AG与BD相交于点E，与DC交于点F，且$BC=2CG$.
(1)若$AB=6$，求CF的长度；2
(2)求$△ABE$与$△FDE$的面积之比.$\frac{9}{4}$

答案： 解:
(1)$\because BC=2CG$,且点 G 是 BC 延长线上的一点,
$\therefore \frac{CG}{BG}=\frac{1}{3}$.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore FC// AB.\therefore \frac{CF}{AB}=\frac{CG}{BG}=\frac{1}{3}$.
$\because AB=6,\therefore CF=\frac{1}{3}AB=2$.
(2)由
(1)知$\frac{CF}{AB}=\frac{1}{3}$,
$\therefore \frac{DF}{AB}=\frac{2}{3}$.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
$\therefore DF// AB$.
$\therefore △FDE\backsim △ABE$.
$\therefore \frac{S_{△ABE}}{S_{△FDE}}=(\frac{AB}{DF})^{2}=(\frac{3}{2})^{2}$
$=\frac{9}{4}$.

12. 如图，$Rt△ABC\backsim Rt△EFG,EF=2AB$，BD和FH分别是它们的中线.
(1)求证：$△BDC\backsim △FHG$；
证明:$\because Rt△ABC\backsim Rt△EFG$,
$\therefore \frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FG}=\frac{AC}{EG},∠C=∠G$.
$\because AC=2DC,EG=2GH$,
$\therefore \frac{BC}{FG}=\frac{DC}{GH}$.
$\therefore △BDC\backsim △FHG$.
(2)若$△BCD$的面积为5，求$△FHG$的面积.
解:由(1)知
$△BDC\backsim △FHG$,
$\because EF=2AB,\therefore \frac{DC}{HG}=\frac{1}{2}$.
$\therefore S_{△BDC}:S_{△FHG}=1:4$.
$\because S_{△BDC}=5$,
$\therefore S_{△FHG}=$20.

答案：
(1)证明:$\because Rt△ABC\backsim Rt△EFG$,
$\therefore \frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FG}=\frac{AC}{EG},∠C=∠G$.
$\because AC=2DC,EG=2GH$,
$\therefore \frac{BC}{FG}=\frac{DC}{GH}$.
$\therefore △BDC\backsim △FHG$.
(2)解:由
(1)知
$△BDC\backsim △FHG$,
$\because EF=2AB,\therefore \frac{DC}{HG}=\frac{1}{2}$.
$\therefore S_{△BDC}:S_{△FHG}=1:4$.
$\because S_{△BDC}=5$,
$\therefore S_{△FHG}=20$.

13.【易错题】(1)如图1，$AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14$，点P在BD上移动，当以P,C,D为顶点的三角形与$△ABP$相似时，则PB的长为____；

(2)如图2，在矩形ABCD中，$AB=4,BC=6$，M是BC的中点.
①在AM上求作一点E，使$△ADE\backsim △MAB$；(尺规作图，不要求写作法)
②在①的条件下，可求得AE的长为____.

答案：
解:
(1)2 或 12 或 8.4
(2)①如图 2 所示,点 E 即为所求.

②$\frac{18}{5}$

14. (2024·顺德区校级期中)如图，已知四边形ABCD是矩形，$AB=6,AD=8$，动点P从点A出发，沿AC方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，当点P运动到点C时，点P停止运动，设运动时间为t秒.
(1)尺规作图：沿过点P的直线将矩形ABCD折叠，使得点A与点C重合，在图中作出该折痕.
(2)在(1)的条件下，该折痕分别与AD,BC相交于点E,F，连接AF,CE，则四边形AECF的周长为____.
(3)过点P作AC的垂线，是否存在某一时刻t，使得该直线被矩形的边所截得的线段长为5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

答案：
解:
(1)如图 1 所示,EF 即为所求.

(2)25
(3)存在.如图 2,当点 M 在 AD 上时,

$\because MN⊥AC,\therefore ∠APN=90^{\circ}$.
$\therefore ∠ANP=90^{\circ}-∠NAP$
$=∠CAD$.
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
$AB=CD=6,AD=8$,
$\therefore ∠NAM=∠D=90^{\circ}$
$=∠APN$,
$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=10$.
$\therefore △NAM\backsim △ADC$,
$△ANP\backsim △CAD$.
$\therefore \frac{MN}{CA}=\frac{NA}{AD},\frac{AP}{CD}=\frac{NA}{AC}$.
依题意,$MN=5$,
$\therefore AN=\frac{AD\cdot MN}{AC}=\frac{8×5}{10}=4.\therefore AP$
$=\frac{AN\cdot CD}{AC}=\frac{4×6}{10}=2.4$.
$\therefore t=\frac{2.4}{2}=1.2$.
如图 3,当点 M 在 CD 上时,

同理可得$CP=2.4$,则
$AP=AC-CP=10-2.4=7.6$,
$\therefore t=\frac{7.6}{2}=3.8$.
综上所述,存在时刻 t,使得该直线被矩形的边所截得的线段长为 5,此时$t=1.2$或$t=3.8$.