《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. [跨学科融合] (BS 九上 P108 改编) 如图, 小强自制了一个小孔成像装置, 其中纸筒的长度为 15 cm. 他准备了一支长为 20 cm 的蜡烛, 想要得到高度为 5 cm 的像, 蜡烛应放在距离纸筒______60cm 的地方.

答案： 60

2. [相似与尺规作图] 如图, 在 $ \mathrm{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, 以顶点 $ A $ 为圆心, 适当长为半径画弧, 分别交 $ AB $, $ AC $ 于点 $ M $, $ N $, 再分别以点 $ M $, $ N $ 为圆心, 大于 $ \frac{1}{2}MN $ 长为半径画弧, 两弧交于点 $ P $, 射线 $ AP $ 交边 $ BC $ 于点 $ D $. 若 $ \triangle DAC \backsim \triangle ABC $, 则 $ \angle B = $______30$ ^{\circ} $.

答案： 30

3. [相似与平行四边形综合] (SK 九下 P74) 如图, 在 $ □ ABCD $ 中, $ E $ 是 $ BC $ 上的三等分点, $ BE ＜ CE $, $ AE $ 交 $ BD $ 于点 $ F $.
(1) $ \frac{BF}{DF} = $______$\frac{1}{3}$;
(2) $ \triangle BEF $ 与 $ \triangle DAF $ 的周长比为______$\frac{1}{3}$, 面积比为______$\frac{1}{9}$.

答案：
(1) $\frac{1}{3}$
(2) $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{9}$

4. 如图, $ DA \perp AC $, $ BC \perp AC $, $ AB $ 与 $ CD $ 相交于点 $ E $, 过点 $ E $ 作 $ EF \perp AC $ 交 $ AC $ 于点 $ F $, 且 $ BC = 2 $, $ AD = 3 $. 则 $ EF $ 的长为______$\frac{6}{5}$.

答案： $\frac{6}{5}$

5. [相似综合] (BS 九上 P122) 如图, 已知 $ \triangle ABC $, $ \triangle DCE $, $ \triangle FEG $ 是三个全等的等腰三角形, 底边 $ BC $, $ CE $, $ EG $ 在同一直线上, 且 $ AB = \sqrt{3} $, $ BC = 1 $, $ BF $ 分别交 $ AC $, $ DC $, $ DE $ 于点 $ P $, $ Q $, $ R $.
(1) 求证: $ \triangle BFG \backsim \triangle FEG $;
证明：∵ $\triangle ABC$，$\triangle DCE$，$\triangle FEG$ 是三个全等的等腰三角形，
∴ $AB = AC = EF = FG$，
$BC = EG = CE$。
∵ $AB = \sqrt{3}$，$BC = 1$，
∴ $FG = \sqrt{3}$，$BC = EG = CE = 1$。
∴ $BG = 3$。
∴ $\frac{BG}{FG} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$，
$\frac{FG}{EG} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$。
∵ $\angle BGF = \angle FGE$，$\frac{BG}{FG} = \frac{FG}{EG}$，
∴ $\triangle BFG \sim \triangle FEG$。
(2) 求 $ AP:PC $.
解：∵ $\triangle ABC \cong \triangle FEG$，
∴ $\angle ACB = \angle G$。
∴ $AC // FG$。
∴ $\angle BPC = \angle BFG$。
∴ $\triangle BPC \sim \triangle BFG$。
∴ $\frac{PC}{FG} = \frac{BC}{BG} = \frac{1}{3}$。
∵ $FG = \sqrt{3}$，
∴ $\frac{PC}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$。
∴ $PC = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
∴ $AP = AC - PC$
$= \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
∴ $AP:PC = \frac{2\sqrt{3}}{3}:\frac{\sqrt{3}}{3} = $2:1。

答案：
(1) 证明：
∵ $\triangle ABC$，$\triangle DCE$，$\triangle FEG$ 是三个全等的等腰三角形，
∴ $AB = AC = EF = FG$，
$BC = EG = CE$。
∵ $AB = \sqrt{3}$，$BC = 1$，
∴ $FG = \sqrt{3}$，$BC = EG = CE = 1$。
∴ $BG = 3$。
∴ $\frac{BG}{FG} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$，
$\frac{FG}{EG} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$。
∵ $\angle BGF = \angle FGE$，$\frac{BG}{FG} = \frac{FG}{EG}$，
∴ $\triangle BFG \sim \triangle FEG$。
(2) 解：
∵ $\triangle ABC \cong \triangle FEG$，
∴ $\angle ACB = \angle G$。
∴ $AC // FG$。
∴ $\angle BPC = \angle BFG$。
∴ $\triangle BPC \sim \triangle BFG$。
∴ $\frac{PC}{FG} = \frac{BC}{BG} = \frac{1}{3}$。
∵ $FG = \sqrt{3}$，
∴ $\frac{PC}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$。
∴ $PC = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
∴ $AP = AC - PC$
$= \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
∴ $AP:PC = \frac{2\sqrt{3}}{3}:\frac{\sqrt{3}}{3} = 2:1$。