《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

5. (BS九上P6)如图，分别以点A，C为圆心，以大于$\frac{1}{2}$AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D. 求证：四边形ABCD是菱形.

答案： 证明：由作图可知
AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.

6. 如图，两个等边三角形拼在一起. 求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵△ABC和△ADC是等边三角形，∴AB=AC=BC，AD=DC=AC.∴AB=BC=CD=AD.∴四边形ABCD是菱形.

答案： 证明：
∵△ABC和△ADC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
AD=DC=AC.
∴AB=BC=CD=AD.
∴四边形ABCD是菱形.

7. (1)(2024·宝安区期中)如图，在四边形ABCD中，AC和BD是对角线，依据图中所标的数据，下列四边形不一定为菱形的是 (D)
A

答案：
(1)D

(2)(2024·福田区期中)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，且AB//CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是 (B)
A. AC=BD
B. ∠ADB=∠CDB
C. ∠ABC=∠DCB
D. AD=BC

答案：
(2)B

8. 如图，已知平行四边形ABCD，AC是它的对角线.
(1)用尺规作AC的垂直平分线EF，垂足为O，EF交AB于点E，交CD于点F；(不写作法，但要保留作图痕迹)
(2)连接AF，CE，求证：四边形AFCE是菱形.

答案：

(1)解：如图，EF即为所作.

(2)证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴FC//AE.
∴∠FCO=∠EAO，
∠CFO=∠AEO.
∵EF是AC的垂直平分线，
∴CO=AO.
在△FOC和△EOA中，
{∠CFO=∠AEO，
∠FCO=∠EAO，
OC=OA，
∴△FOC≌△EOA(AAS).
∴OF=OE.
∴EF与AC互相垂直平分.
∴四边形AFCE是菱形.

9. (BS九上P9改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE.
(1)求证：四边形CAFE是菱形；
(2)如果BC=$\sqrt{3}$，H，G分别是CE，AC的中点，P是AE上的动点，那么PH+PG的最小值为1.

答案：
(1)证明：
∵DE垂直平分BC，
∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴DF//AC，
∠ECB=∠B=90° - ∠BAC
=30°.
∴∠ACE=90° - ∠ECB
=60°=∠BAC.
∴△ACE是等边三角形.
∴AC=CE=AE.
又
∵AF=CE，
∴AF=AE.
又
∵DF//AC，
∴∠FEA=∠CAE=60°.
∴△AEF为等边三角形.
∴EF=AF.
∴CE=AC=AF=EF.
∴四边形CAFE是菱形.
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