《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. (2024·江门一模)定义:在$\triangle ABC$中,我们把$∠A$的对边与$∠C$的对边的比叫做$∠A$的邻弦,记作$\mathrm{thi}\ A$,即$\mathrm{thi}\ A=\frac {∠A\mathrm{的对边}}{∠C\mathrm{的对边}}=\frac {BC}{AB}$.请解答下列问题:
已知:在$\triangle ABC$中,$∠C=30^{\circ }$.
(1)若$∠A=45^{\circ }$,求$\mathrm{thi}\ A$的值;
(2)若$\mathrm{thi}\ A=\sqrt {3}$,则$∠A=$________;
(3)若$∠A$是锐角,探究$\mathrm{thi}\ A$与$\sin A$的数量关系.

答案：
解:
(1) 如图, 过点 B 作 $ BH \perp AC $, 垂足为 H.
在 $ \text{Rt} \triangle BHC $ 中,
$ \sin C = \frac{BH}{BC} = \frac{1}{2} $
即 $ BC = 2BH $;
在 $ \text{Rt} \triangle BHA $ 中,
$ \sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2} $
即 $ AB = \sqrt{2}BH $.
$ \therefore \text{thi} A = \frac{BC}{AB} = \sqrt{2} $
(2) $ 60^{\circ} $ 或 $ 120^{\circ} $
(3) 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \text{thi} A = \frac{BC}{AB} $,
在 $ \text{Rt} \triangle BHA $ 中, $ \sin A = \frac{BH}{AB} $,
由
(1) 可知 $ BC = 2BH $,
$ \therefore \text{thi} A = 2 \sin A $

2. (2024·深圳模拟)在学习“解直角三角形”一章时,小明同学对存在倍数关系的两个锐角之间的正切值产生了浓厚的兴趣,并进行了一些研究.
(1)【初步尝试】我们知道:$\tan 60^{\circ }=$______,$\tan 30^{\circ }=$______,发现结论:$\tan 2A$______$\tan A$;(选填“$=$”或“$\neq$”)
(2)【实践探究】如图1,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ },AC=2,BC=1$,求$\tan \frac {A}{2}$的值;
小明想构造包含$\frac {1}{2}∠A$的直角三角形:延长$CA$至点$D$,使得$DA=AB$,连接$BD$,得到$∠D=\frac {1}{2}∠A$,即转化为求$∠D$的正切值.请按小明的思路求解$\tan \frac {A}{2}$;
(3)【拓展延伸】如图2,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ },AC=3,\tan A=\frac {1}{3}$,求$\tan 2A$.

答案：
解:
(1) $ \sqrt{3} $ $ \frac{\sqrt{3}}{3} $ $ \neq $
(2) 如图 1, 延长 CA 至点 D, 使得 $ DA = AB $, 连接 BD,

在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,
$ \angle C = 90^{\circ}, AC = 2, BC = 1 $
$ \therefore AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{5} $
$ \therefore AD = AB = \sqrt{5} $
$ \therefore \angle D = \angle ABD $
$ CD = AD + AC = \sqrt{5} + 2 $
$ \therefore \angle BAC = 2 \angle D $
$ \therefore \tan \frac{A}{2} = \tan D = \frac{BC}{CD} $
$ = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \sqrt{5} - 2 $
(3) 如图 2, 在 AC 上取点 E, 使得 $ AE = BE $,

则 $ \angle BEC = 2 \angle A $.
在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $,
$ AC = 3, \tan A = \frac{1}{3} $
$ \therefore BC = 1 $
设 $ AE = BE = x $, 则 $ EC = 3 - x $.
在 $ \text{Rt} \triangle EBC $ 中, 由勾股定理,
得 $ BE^{2} = EC^{2} + BC^{2} $,
$ \therefore x^{2} = (3 - x)^{2} + 1^{2} $
解得 $ x = \frac{5}{3} $.
$ \therefore AE = BE = \frac{5}{3}, EC = \frac{4}{3} $
$ \therefore \tan 2A = \tan \angle BEC = \frac{BC}{EC} $
$ = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} $