《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

一、二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象特征与系数$a$，$b$，$c$的关系
|代数式|作用|代数式符号|图象特征|
|----|----|----|----|
|$a$|决定开口方向|$a＞0$|开口向上|
| | |$a＜0$|开口向下|
|$c$|决定抛物线与$y$轴交点的位置|$c＞0$|交点在$y$轴正半轴|
| | |$c=0$|交点在原点|
| | |$c＜0$|交点在$y$轴负半轴|
|$-\frac{b}{2a}$|决定对称轴的位置(“左同右异”)|$-\frac{b}{2a}＜0\Leftrightarrow a\cdot b＞0(a,b$同号)|对称轴在$y$轴左侧|
| | |$b=0$|对称轴是$y$轴|
| | |$-\frac{b}{2a}＞0\Leftrightarrow a\cdot b＜0(a,b$异号)|对称轴在$y$轴右侧|
1. 例 如图，已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，与$x$轴交于点$(3,0)$，下列结论正确的有__________.
①$a＞0$；②$c＞0$；③$b＞0$；④$b^{2}-4ac＞0$；⑤$b+2a=0$.②③④⑤

2. 【变式练习】如图，抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，与$x$轴交于点$(-3,0)$，$(1,0)$，则下列结论错误的是__________.
①$a＜0$；②$c＜0$；③$b＜0$；④$b^{2}-4ac＜0$；⑤$b=2a$.①③④

答案： 1. ②③④⑤ 2. ①③④

二、几种常考的关系式的解题方法
|$a$，$b$，$c$的代数式|方法指引|对应点坐标|
|----|----|----|
|①$a+b+c$|当$x=1$时，$y=a+b+c$|$(1,a+b+c)$|
|②$a-b+c$|当$x=-1$时，$y=$$a - b + c$|$(-1,a-b+c)$|
|③$4a+2b+c$|当$x=2$时，$y=$$4a + 2b + c$|$(2,4a+2b+c)$|
|④$4a-2b+c$|当$x=-2$时，$y=$$4a - 2b + c$|$(-2,4a-2b+c)$|
|⑤$abc$|根据开口方向、对称轴及与$y$轴的交点进行判断|—|
|⑥$2a-b$或$2a+b$|根据对称轴位置进行判断|—|
|⑦$\Delta =b^{2}-4ac$(决定抛物线与$x$轴的交点个数)|$b^{2}-4ac=0$：与$x$轴有唯一交点(顶点)|—|
| |$b^{2}-4ac＞0$：与$x$轴有两个交点|—|
| |$b^{2}-4ac＜0$：与$x$轴没有交点|—|
3. 例 如图，抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴相交于点$(-1,0)$，$(3,0)$，确定下列各式的符号：
(1)$a$＞$0$；
(2)$c$＜$0$；
(3)$b$＜$0$；
(4)$b^{2}-4ac$＞$0$；
(5)$-\frac{b}{2a}$＞$0$；
(6)$2a+b$=$0$；
(7)$a+b+c$＜$0$；（提示：当$x=1$时，$y=a+b+c$）
(8)$a-b+c$=$0$；
(9)$4a+2b+c$＜$0$；
(10)$4a-2b+c$＞$0$；
(11)函数$y$的最小值为$a + b + c$.

4. 【变式练习】已知抛物线$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴为直线$x=-1$，且过点$(1,0)$，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：
①$ac＞0$，$b＞0$；
②与$x$轴的另一个交点为$(-3,0)$；
③$b^{2}-4ac＞0$；
④$2a-b=0$；
⑤$4a-2b+c＞0$；
⑥$9a-3b+c=0$；
⑦$9a+3b+c＜0$；
⑧$a+b+2c＞0$；
⑨$c=3a-3b$；
⑩$8a+c＞0$.
其中正确的有②③④⑤⑥⑦⑧⑨.（填序号）

答案： ②$a - b + c$ ③$4a + 2b + c$
④$4a - 2b + c$
3.
(1)$＞$
(2)$＜$
(3)$＜$
(4)$＞$
(5)$＞$
(6)$=$
(7)$＜$
(8)$=$
(9)$＜$
(10)$＞$
(11)$a + b + c$
4. ②③④⑤⑥⑦⑧⑨