《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

7. (BS 九上 P48 改编) 如图, 将一块正方形空地划出部分区域进行绿化, 原空地一边减少了 $ 2 \mathrm { m } $, 另一边减少了 $ 3 \mathrm { m } $, 剩余一块面积为 $ 20 \mathrm { m } ^ { 2 } $ 的矩形空地, 求原正方形空地的边长. 设原正方形空地的边长为 $ x \mathrm { m } $, 则可列方程为 __$(x - 3)(x - 2) = 20$__.

答案： $ (x - 3)(x - 2) = 20 $

8. (2024·迎泽区校级月考) 如图, 在长为 $ 28 \mathrm { m } $、宽为 $ 10 \mathrm { m } $ 的矩形空地上修建道路 (图中的阴影部分), 余下部分铺设草坪, 要使草坪的面积为 $ 243 \mathrm { m } ^ { 2 } $, 设道路的宽为 $ x \mathrm { m } $, 则所列方程为 __(28 - x)(10 - x) = 243__.

答案： $ (28 - x)(10 - x) = 243 $

9. (2024·龙川县期中) 如果直角三角形三边长分别是 $ n $, $ n + 3 $, $ n + 6 $, 那么该三角形的面积是 __54__.

答案： 54

10. (BS 九上 P45 改编) 如图, 由点 $ P ( 14,1 ) $, $ A ( a, 0 ) $, $ B ( 0, a ) ( 0 ＜ a ＜ 14 ) $ 确定的 $ \triangle P A B $ 的面积为 18, 则 $ a = $ ___.

答案： 3 或 12

11. (2024·中山期中) 如图, 在矩形 $ A B C D $ 中, $ A B = 6 \mathrm { cm } $, $ B C = 8 \mathrm { cm } $, 点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿边 $ A B $ 向终点 $ B $ 以 $ 1 \mathrm { cm } / \mathrm { s } $ 的速度移动, 与此同时, 点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿边 $ B C $ 向终点 $ C $ 以 $ 2 \mathrm { cm } / \mathrm { s } $ 的速度移动. 如果点 $ P $, $ Q $ 分别从点 $ A $, $ B $ 同时出发, 当点 $ Q $ 运动到点 $ C $ 时, 两点停止运动. 设运动时间为 $ t \mathrm { s } ( 0 ＜ t ＜ 4 ) $.
(1) 当 $ t $ 为何值时, $ P Q $ 的长度等于 $ 6 \mathrm { cm } $?
答：当 $ t = $2.4时，$ PQ $ 的长度等于 $ 6 \mathrm { cm } $。
(2) 连接 $ P C $, 是否存在 $ t $ 的值, 使得 $ \triangle P Q C $ 的面积等于 $ 10 \mathrm { cm } ^ { 2 } $? 若存在, 请求出此时 $ t $ 的值; 若不存在, 请说明理由.
答：存在，此时 $ t = $$ 5 - \sqrt{11} $。

答案： 解:
(1)依题意,得 $ BQ = 2t $ cm, $ AP = t $ cm, $ \therefore PB = AB - AP = (6 - t) $(cm). $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形, $ \therefore \angle B = 90^{\circ} $.在 $ Rt\triangle PBQ $ 中,由勾股定理,得 $ PB^2 + BQ^2 = PQ^2 $, $ \therefore (6 - t)^2 + (2t)^2 = 6^2 $,解得 $ t_1 = 0 $(舍去), $ t_2 = 2.4 $. $ \therefore $ 当 $ t = 2.4 $ 时, $ PQ $ 的长度等于 6 cm.
(2)依题意,得 $ CQ = BC - BQ = (8 - 2t) $(cm), $ \because \triangle PQC $ 的面积等于 $ 10 $ $ cm^2 $, $ \therefore \frac{1}{2}CQ \cdot PB = 10 $. $ \therefore \frac{1}{2}(8 - 2t)(6 - t) = 10 $,解得 $ t = 5 - \sqrt{11} $ 或 $ t = 5 + \sqrt{11} $(舍去). $ \therefore $ 当 $ t = 5 - \sqrt{11} $ 时, $ \triangle PQC $ 的面积等于 $ 10 $ $ cm^2 $.