《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

2. (BS 九上 P39 改编)(2024·深圳校级开学)阅读材料,并解答问题.
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法,以 $ x ^ { 2 } + 2 x - 35 = 0 $ 为例,构造方法如下:
首先将方程 $ x ^ { 2 } + 2 x - 35 = 0 $ 变形为 $ x ( x + 2 ) = 35 $,然后画四个长为 $ x + 2 $,宽为 x 的矩形,按如图 1 所示的方式拼成一个“空心”大正方形,则图 1 中大正方形的面积可表示为 $ ( x + x + 2 ) ^ { 2 } $,还可表示为四个矩形与一个边长为 2 的小正方形的面积之和,即 $ 4 x ( x + 2 ) + 2 ^ { 2 } = 4 × 35 + 4 $. 因此,可得新方程 $ ( x + x + 2 ) ^ { 2 } = 144 $. 因为 x 表示边长,所以 $ 2 x + 2 = 12 $,即 $ x = 5 $. 遗憾的是,这样的做法只能得到方程的其中一个正根.

【理解应用】参照上述方法,在下面三个构图中能够用几何法求解方程 $ x ^ { 2 } - 4 x - 12 = 0 ( x ＞ 0 ) $ 的正确构图是____.(从序号①②③中选择)

【类比迁移】小颖根据以上解法解方程 $ 2 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0 $,请将其解答过程补充完整:
第一步:将原方程变形为 $ x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } x - 1 = 0 $,即 $ x ( $____$ ) = 1 $;
第二步:利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形(在图 2 中标上合适的代数式);
第三步:根据大正方形的面积可得新的方程____,解得原方程的一个根为____;

【拓展应用】一般地,对于形如 $ x ^ { 2 } + a x = b $ 的一元二次方程可以构造图 3 来解.
已知图 3 是由四个面积为 3 的相同矩形构成,中间围成的正方形面积为 4,那么此方程的系数 $ a = $____,$ b = $____,求得方程的正根为____.

答案：
解：【理解应用】②
【类比迁移】第一步：$x + \frac{3}{2}$
第二步：所标代数式如图2所示。

第三步：$(x + x + \frac{3}{2})^{2} = 4×1 + (\frac{3}{2})^{2}\frac{1}{2}$
【拓展应用】$\pm 2$ $3$ $1$或$3$