《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

2. (2024·宁夏模拟)【阅读理解】
如图1,AD是△ABC的高,点E,F分别在AB和AC上,且EF//BC,可以得到结论:$\frac {AH}{AD}=\frac {EF}{BC}$.
【拓展应用】
(1)如图2,在△ABC中,BC=3,边BC上的高为4,在△ABC内放一个正方形EFGH,使其一边GM在BC上,点E,F分别在AB,AC上,则正方形EFGH的边长是多少?
(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上,布置一个腰长为100cm,底边长为160cm的等腰三角形展台.现需将展台用隔板(平行于底边)每间隔10cm分隔出一排,再将每一排尽可能地分隔成若干个无盖的正方体格子,要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒,其平面设计图如图3所示.(将底边BC的长度看作是0排隔板的长度)
①在分隔的过程中发现,当正方体间的隔板厚度忽略不计时,每排的隔板长度(单位:cm)随着排数的变化而变化.请完成表格:
| 排数 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 隔板长度/cm | 160 | | | | … |
若用n表示排数,y表示每排的隔板长度,试求出y与n的关系式.
②在①的条件下,请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒.

答案：
解:
(1) 如图 2, 过点 $ A $ 作 $ A D \perp B C $ 于点 $ D $, 交 $ E F $ 于点 $ H $,
$ \therefore A D = 4 $.
由【阅读理解】的结论可得,
$ \frac { A H } { A D } = \frac { E F } { B C } $,
设正方形的边长为 $ x $.
$ \therefore \frac { 4 - x } { 4 } = \frac { x } { 3 } $, 解得 $ x = \frac { 12 } { 7 } $.
$ \therefore $ 正方形 $ E F G M $ 的边长是 $ \frac { 12 } { 7 } $.
(2) ① 如图 3, 过点 $ A $ 作 $ A D \perp B C $ 于点 $ D $.

$ \because A B = A C $, $ A D \perp B C $,
$ \therefore B D = C D = 80 \mathrm { ~cm } $.
$ \therefore A D = \sqrt { A B ^ { 2 } - B D ^ { 2 } } $
$ = \sqrt { 10000 - 6400 } $
$ = 60 ( \mathrm { ~cm } ) $.
分别设第 1、第 2、第 3 排的隔板长为 $ y _ { 1 } $, $ y _ { 2 } $, $ y _ { 3 } $.
由阅读理解的结论, 可得
$ \frac { 50 } { 60 } = \frac { y _ { 1 } } { 160 } $, $ \frac { 40 } { 60 } = \frac { y _ { 2 } } { 160 } $, $ \frac { 30 } { 60 } = \frac { y _ { 3 } } { 160 } $,
解得 $ y _ { 1 } = \frac { 400 } { 3 } $, $ y _ { 2 } = \frac { 320 } { 3 } $,
$ y _ { 3 } = 80 $.
$ \therefore \frac { 60 - 10 n } { 60 } = \frac { y } { 160 } $.
$ \therefore y = - \frac { 80 } { 3 } n + 160 $.
故答案分别为 $ \frac { 400 } { 3 } $, $ \frac { 320 } { 3 } $, $ 80 $.
② 当 $ n = 1 $ 时, 隔板长 $ \frac { 400 } { 3 } \mathrm { ~cm } $,
$ \therefore $ 可以作正方体格子的个数为
$ \frac { 400 } { 3 } ÷ 10 \approx 13 $ (个);
当 $ n = 2 $ 时, 隔板长 $ \frac { 320 } { 3 } \mathrm { ~cm } $,
$ \therefore $ 可以作正方体格子的个数为
$ \frac { 320 } { 3 } ÷ 10 \approx 10 $ (个);
当 $ n = 3 $ 时, 隔板长 $ 80 \mathrm { ~cm } $,
$ \therefore $ 可以作正方体格子的个数为
$ 80 ÷ 10 = 8 $ (个);
当 $ n = 4 $ 时, 隔板长 $ \frac { 160 } { 3 } \mathrm { ~cm } $,
$ \therefore $ 可以作正方体格子的个数为
$ \frac { 160 } { 3 } ÷ 10 \approx 5 $ (个);
当 $ n = 5 $ 时, 隔板长 $ \frac { 80 } { 3 } \mathrm { ~cm } $,
$ \therefore $ 可以作正方体格子的个数为
$ \frac { 80 } { 3 } ÷ 10 \approx 2 $ (个);
当 $ n = 6 $ 时, 隔板长 $ 0 \mathrm { ~cm } $, 可以作正方体格子的个数为 $ 0 $.
$ \therefore $ 第 1 排最多可以摆放 13 瓶葡萄酒, 第 2 排最多可以摆放 10 瓶葡萄酒, 第 3 排最多可以摆放 8 瓶葡萄酒, 第 4 排最多可以摆放 5 瓶葡萄酒, 第 5 排最多可以摆放 2 瓶葡萄酒, 第 6 排最多可以摆放 0 瓶葡萄酒.
$ \therefore 13 + 10 + 8 + 5 + 2 = 38 $ (瓶).
综上所述, 该展台最多可以摆放 38 瓶葡萄酒.