《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

13. (2024·中山二模)如图，平行于$y$轴的直尺(一部分)与反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象相交于点$A$，$C$，与$x$轴相交于点$B$，$D$，连接$AC$。点$A$，$B$的刻度分别为$5$，$2$，直尺的宽度$BD$为$2$，$OB=2$，设直线$AC$的解析式为$y=kx+b$。
(1)请结合图象直接写出不等式$kx+b＞\frac{m}{x}$的解集；$2＜x＜4$
(2)求直线$AC$的解析式；$y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$
(3)平行于$y$轴的直线$x=n(2＜n＜4)$与$AC$相交于点$E$，与反比例函数的图象相交于点$F$。若线段$EF$的长为$\frac{1}{4}$，求$n$的值。$\frac{8}{3}$或$3$

答案： 解：
(1) 由图象可知，不等式 $ kx + b ＞ \frac{m}{x} $ 的解集为 $ 2 ＜ x ＜ 4 $。
(2) 将 $ A(2, 3) $ 代入 $ y = \frac{m}{x} $，得 $ \frac{m}{2} = 3 $，解得 $ m = 6 $，$ \therefore y = \frac{6}{x} $。
又 $ \because OD = 4 $，点 $ C $ 在反比例函数的图象上，$ \therefore C(4, 1.5) $。
将 $ A(2, 3) $ 和 $ C(4, 1.5) $ 分别代入 $ y = kx + b $，得 $ \begin{cases} 2k + b = 3, \\ 4k + b = 1.5, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = -\frac{3}{4}, \\ b = \frac{9}{2}. \end{cases} $
$ \therefore $ 直线 $ AC $ 的解析式为 $ y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{2} $。
(3) 当 $ x = n $ 时，点 $ E $ 的纵坐标为 $ -\frac{3}{4}n + \frac{9}{2} $，点 $ F $ 的纵坐标为 $ \frac{6}{n} $，依题意，得 $ -\frac{3}{4}n + \frac{9}{2} - \frac{6}{n} = \frac{1}{4} $，解得 $ n = \frac{8}{3} $ 或 $ n = 3 $。
经检验，$ n = \frac{8}{3} $ 和 $ n = 3 $ 都是原方程的解，且符合题意。$ \therefore n $ 的值为 $ \frac{8}{3} $ 或 3。

14. (2024·清远校级三模)如图，正比例函数$y=-3x$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$的图象相交于$A$，$B(1,m)$两点，点$C$在$x$轴的负半轴上，$\angle ACO=45^{\circ}$。
(1)$m=$$-3$，$k=$$-3$，点$A$的坐标为$(-1, 3)$，点$C$的坐标为$(-4, 0)$；
(2)点$P$在$x$轴上，若以$B$，$O$，$P$为顶点的三角形与$\triangle AOC$相似，求点$P$的坐标。

答案： 解：
(1) $ -3 $ $ -3 $ $ (-1, 3) $ $ (-4, 0) $
(2) 由
(1)可知，$ B(1, -3) $，$ A(-1, 3) $，当点 $ P $ 在 $ x $ 轴的负半轴上时，$ \angle BOP ＞ 90^{\circ} $，$ \therefore \angle BOP ＞ \angle AOC $。
又 $ \because \angle BOP ＞ \angle ACO $，$ \angle BOP ＞ \angle CAO $，$ \therefore \triangle BOP $ 与 $ \triangle AOC $ 不可能相似。
当点 $ P $ 在 $ x $ 轴的正半轴上时，$ \angle AOC = \angle BOP $。
① 若 $ \triangle AOC \sim \triangle BOP $，则 $ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OP} $。
$ \because OA = OB $，$ \therefore OP = OC = 4 $。$ \therefore P(4, 0) $。
② 若 $ \triangle AOC \sim \triangle POB $，则 $ \frac{OA}{OP} = \frac{OC}{OB} $。
又 $ \because OB = OA = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10} $，$ OC = 4 $，$ \therefore OP = \frac{5}{2} $。$ \therefore P(\frac{5}{2}, 0) $。
综上所述，点 $ P $ 的坐标为 $ (4, 0) $ 或 $ (\frac{5}{2}, 0) $。

15. 某商场出售一批进价为$2$元的贺卡，在销售过程中发现此商品的日销售单价$x$(元)与日销售量$y$(个)之间有下表所列的关系：
| $x/$元 | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y/$个 | $20$ | $15$ | $12$ | $10$ |
(1)试确定$y$与$x$之间的函数关系式。
(2)设此贺卡的销售利润为$w$元，试求出$w$与$x$之间的函数关系式，并计算当销售单价为$10$元时，销售利润为多少元？

答案： 解：
(1) $ y = \frac{60}{x} $。
(2) $ w = (x - 2)y = (x - 2) \cdot \frac{60}{x} = 60 - \frac{120}{x} $，当 $ x = 10 $ 时，$ w = 60 - \frac{120}{10} = 48 $（元）。

16. 去学校食堂就餐时，学生经常会在某个买菜窗口前等待。经调查发现，学生的舒适度指数$y$与等待时间$x$(分)之间存在如下的函数关系(如图)：$y=\frac{100}{x}(x＞0)$。
(1)若等待时间$x=5$分时，求舒适度$y$的值。20
(2)若舒适度指数不低于$10$时，学生才会感到舒适。作为食堂的管理员，应让每个在窗口买菜的学生最多等待多少时间？10分钟

答案： 解：
(1) 当 $ x = 5 $ 时，$ y = \frac{100}{5} = 20 $。
(2) 由 $ y \geq 10 $，得 $ \frac{100}{x} \geq 10 $，$ \because x ＞ 0 $，$ \therefore 100 \geq 10x $。$ \therefore 0 ＜ x \leq 10 $。
答：最多等待 10 分钟。