《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. (2024·拱墅区校级期中)在实验课上,小明做了一个实验,如图1,在仪器左边托盘A(固定)中放置一个物体,在右边托盘B(可左右移动)中放置一个可以装水的容器,容器的质量为5g,在容器中加入一定质量的水,可以使仪器左右平衡,改变托盘B与点C的距离x(cm)($0\lt x\leqslant 60$),记录容器中加入水的质量,得到表格:
|托盘B与点C的距离x/cm|30|25|20|15|10|
|--|--|--|--|--|--|
|容器与水的总质量$y_{1}/g$|10|12|15|20|30|
|加入的水的质量$y_{2}/g$|5|7|10|15|25|

把上表中的x与$y_{1}$各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点,并用光滑的曲线连接起来,得到如图2所示的$y_{1}$关于x的函数图象.
(1)请在该平面直角坐标系中作出$y_{2}$关于x的函数图象.
(2)观察函数图象,并结合表中的数据:
①猜测$y_{1}$与x之间的函数关系,并求$y_{1}$关于x的函数表达式;
②求$y_{2}$关于x的函数表达式.
(3)如图1,若在容器中加入的水的质量$y_{2}$(g)满足$19\leqslant y_{2}\leqslant 45$,求托盘B与点C的距离x(cm)的取值范围.

答案：
解:
(1) $ y_{2} $ 关于 $ x $ 的函数图象如图 2 所示.

(2) ① 根据函数图象和表格中的数据可知, $ y_{1} $ 是 $ x $ 的反比例函数.
设 $ y_{1} $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y_{1} = \frac{k}{x}(k \neq 0) $.
把坐标 $ (30,10) $ 代入 $ y_{1} = \frac{k}{x} $,
得 $ \frac{k}{30} = 10 $,
解得 $ k = 300 $,
$ \therefore y_{1} $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y_{1} = \frac{300}{x}(0 ＜ x \leq 60) $.
② 由表格中的数据可知,
$ y_{2} = y_{1} - 5 = \frac{300}{x} - 5 $,
$ \therefore y_{2} $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y_{2} = \frac{300}{x} - 5(0 ＜ x \leq 60) $.
(3) $ \because 19 \leq y_{2} \leq 45 $,
$ y_{2} = \frac{300}{x} - 5 $,
$ \therefore 19 \leq \frac{300}{x} - 5 \leq 45 $,
解得 $ 6 \leq x \leq 12.5 $.
$ \therefore $ 托盘 $ B $ 与点 $ C $ 的距离 $ x(cm) $ 的取值范围为 $ 6 \leq x \leq 12.5 $.