《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

2. (2024·长子县二模)综合与实践
【问题情境】
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图，在正方形内取一点$E$，使$\angle CED = 90^{\circ}$，将$CE$绕点$C$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$CE'$，射线$DE$，$E'B$相交于点$F$.
【特例研究】
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点$E$在对角线$AC$的中点$O$处时，点$F$与点$B$重合，此时四边形$EFE'C$的形状为正方形.
【探究发现】
(1)博学小组发现，如图2，只要$\angle CED = 90^{\circ}$，四边形$EFE'C$的形状都是正方形，请证明；
(2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取$BC$的中点$G$，连接$E'G$，$FO$，$AF$，又发现：在点$E$运动过程中，$FO$与$E'G$始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下，已知$AF = 1$，$BC = 5$，直接写出$BF$的长度.

答案：

(1)证明:$\because$四边形$ABCD$是正方形,
$\therefore\angle BCD = 90^{\circ}$,$BC = CD$.
$\therefore\angle BCE+\angle DCE = 90^{\circ}$.
由旋转的性质,得$CE = CE'$,
$ECE' = 90^{\circ}$,
$\therefore\angle BCE+\angle BCE' = 90^{\circ}$.
$\therefore\angle DCE=\angle BCE'$.
$\therefore\triangle CBE'\cong\triangle CDE(SAS)$.
$\therefore\angle CE'B=\angle CED = 90^{\circ}$.
$\therefore\angle CEF = 90^{\circ}$.
$\therefore$四边形$EFE'C$是矩形.
又$\because CE = CE'$,
$\therefore$四边形$EFE'C$是正方形.
即只要$\angle CED = 90^{\circ}$,四边形$EFE'C$的形状都是正方形.
(2)解:$FO=\sqrt{2}E'G$.理由如下:
如图3,连接$BD$,

$\because$四边形$ABCD$是正方形,
$O$是$AC$的中点,
$\therefore BD = AC=\sqrt{2}BC$,
$O$是$BD$的中点.
$\because$四边形$EFE'C$是正方形,
$\therefore\angle BE'C=\angle BFD = 90^{\circ}$.
又$\because G$是$BC$的中点,
$\therefore$在$Rt\triangle BFD$和$Rt\triangle BE'C$中,
$FO=\frac{1}{2}BD$,$E'G=\frac{1}{2}BC$.
$\therefore FO=\sqrt{2}E'G$.
(3)解:如图4,取$AF$的中点$M$,取$BF$的中点$N$,连接$OM$,$ON$,$OB$,$MN$,过点$M$作$MQ\perp ON$于点$Q$,

$\therefore MN// AB$,$MN=\frac{1}{2}AB$.
$\because AB = BC = 5$,$\therefore MN=\frac{5}{2}$.
由
(2)可知$OB = OC = OF = OA$,
又$\because AF = 1$,
$\therefore AM = FM=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}$,
$\angle OMF = 90^{\circ}$,
$\angle AOM=\angle FOM=\frac{1}{2}\angle AOF$,
$FN = BN=\frac{1}{2}BF$,$\angle ONF = 90^{\circ}$,
$\angle BON=\angle FON=\frac{1}{2}\angle BOF$.
$\because$四边形$ABCD$是正方形,$O$是$AC$的中点,$BC = AB = 5$,
$\therefore\angle AOB = 90^{\circ}$,
$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 5\sqrt{2}$.
$\therefore OA = OB = OF=\frac{1}{2}AC=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore\angle MON$
$=\angle FOM+\angle FON$
$=\frac{1}{2}\angle AOF+\frac{1}{2}\angle BOF$
$=\frac{1}{2}(\angle AOF+\angle BOF)$
$=\frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}$,
$OM=\sqrt{OF^{2}-MF^{2}}=\frac{7}{2}$.
又$\because MQ\perp ON$,
$\therefore OM^{2}=MQ^{2}+OQ^{2}=2OQ^{2}$.
$\therefore OQ=\frac{7\sqrt{2}}{4}$.
$\therefore NQ=\sqrt{MN^{2}-MQ^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
$\therefore ON = OQ + NQ = 2\sqrt{2}$.
$\therefore FN=\sqrt{OF^{2}-ON^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore BF = 2FN = 3\sqrt{2}$.