《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

7. 如图，直线$y=-x+3$与抛物线$y=-x^{2}+2x+3$相交于点$A(0,3)$，$B(3,0)$.
(1)$F$是线段$AB$上的点，$FE⊥x$轴，点$E$在抛物线上，若点$F$的横坐标为$m$，请用含$m$的代数式表示$EF$的长；$-m^2 + 3m$
(2)求$EF$的最大值.$\frac{9}{4}$

答案： 解：
(1) $ \because E(m, -m^2 + 2m + 3) $，$ F(m, -m + 3) $，
$ \therefore EF = (-m^2 + 2m + 3) - (-m + 3) = -m^2 + 3m $。
(2) $ EF = -m^2 + 3m = -\left(m - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} $，
$ \therefore $ 当 $ m = \frac{3}{2} $ 时，$ EF $ 的最大值为 $ \frac{9}{4} $。

8. 如图，直线$y=x-3$与抛物线$y=x^{2}-2x-3$交于点$A$，$B$，点$F$在线段$AB$上，$EF⊥x$轴，点$E$在抛物线上.
(1)若点$F$的横坐标为$m$，请用含$m$的代数式表示$EF$的长；$-m^2 + 3m$
(2)连接$AE$，$BE$，求$△ABE$面积的最大值.$\frac{27}{8}$

答案： 解：
(1) 设点 $ F $ 的坐标为 $ (m, m - 3) $，
则点 $ E $ 的坐标为 $ (m, m^2 - 2m - 3) $，
$ \therefore EF = (m - 3) - (m^2 - 2m - 3) = m - 3 - m^2 + 2m + 3 = -m^2 + 3m = -\left(m - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} $。
(2) 令 $ y = 0 $，则 $ x - 3 = 0 $，
$ \therefore x = 3 $。
$ \therefore OB = 3 $。
$ \therefore S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2}EF \cdot OB = \frac{1}{2}(-m^2 + 3m) \times 3 = -\frac{3}{2}m^2 + \frac{9}{2}m = -\frac{3}{2}\left(m - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{27}{8} $。
$ \therefore \triangle ABE $ 面积的最大值为 $ \frac{27}{8} $。

9.【原创题】如图，已知抛物线过点$A(-4,0)$，$B(0,-4)$，$C(2,0)$.
(1)求抛物线的解析式；
解：设抛物线解析式为 $ y = a(x + 4)(x - 2) $。将点 $ B(0, -4) $ 代入得 $ -8a = -4 $，解得 $ a = \frac{1}{2} $。$ \therefore $ 抛物线解析式为 $ y = \frac{1}{2}x^2 + x - 4 $。
(2)若$S_{△ACP}=6$，点$P$在抛物线上，求出点$P$的坐标；
解：设 $ P $ 点坐标为 $ \left(b, \frac{1}{2}b^2 + b - 4\right) $。$ \because AC = 6 $，$ \therefore S_{\triangle ACP} = \frac{1}{2}AC \cdot \left|\frac{1}{2}b^2 + b - 4\right| = 6 $。$ \therefore \left|\frac{1}{2}b^2 + b - 4\right| = 2 $，解得 $ b = \sqrt{5} - 1 $ 或 $ -\sqrt{5} - 1 $ 或 $ \sqrt{13} - 1 $ 或 $ -\sqrt{13} - 1 $。$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (\sqrt{5} - 1, -2) $ 或 $ (-\sqrt{5} - 1, -2) $ 或 $ (\sqrt{13} - 1, 2) $ 或 $ (-\sqrt{13} - 1, 2) $。
(3)若点$F$在线段$AB$上运动，过点$F$作$FE⊥x$轴交抛物线于点$E$，求$EF$的最大值；
解：设直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = kx - 4 $。将点 $ A(-4,0) $ 代入，得 $ -4k - 4 = 0 $，解得 $ k = -1 $，$ \therefore $ 直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = -x - 4 $。设 $ F(c, -c - 4) $，则 $ E\left(c, \frac{1}{2}c^2 + c - 4\right) $。$ \therefore EF = -c - 4 - \left(\frac{1}{2}c^2 + c - 4\right) = -\frac{1}{2}(c + 2)^2 + 2 $。$ \therefore EF $ 的最大值为 $ 2 $。
(4)在(3)中，是否存在以点$O$，$B$，$E$，$F$为顶点的平行四边形？请说明理由.
解：$ 不存在 $。$ \because EF \perp x $ 轴，$ \therefore EF // OB $。$ \therefore $ 以 $ O $，$ B $，$ E $，$ F $ 为顶点的平行四边形只能是四边形 $ OBEF $。$ \because OB = 4 $，$ EF \leq 2 $，$ \therefore EF \neq OB $。$ \therefore $ 不存在以 $ O $，$ B $，$ E $，$ F $ 为顶点的平行四边形。

答案： 解：
(1) 设抛物线解析式为 $ y = a(x + 4)(x - 2) $。
将点 $ B(0, -4) $ 代入得 $ -8a = -4 $，解得 $ a = \frac{1}{2} $。
$ \therefore $ 抛物线解析式为 $ y = \frac{1}{2}(x + 4)(x - 2) = \frac{1}{2}x^2 + x - 4 $。
(2) 设 $ P $ 点坐标为 $ \left(b, \frac{1}{2}b^2 + b - 4\right) $。
$ \because AC = 6 $，
$ \therefore S_{\triangle ACP} = \frac{1}{2}AC \cdot \left|\frac{1}{2}b^2 + b - 4\right| = 6 $。
$ \therefore \left|\frac{1}{2}b^2 + b - 4\right| = 2 $，
解得 $ b = \sqrt{5} - 1 $ 或 $ -\sqrt{5} - 1 $ 或 $ \sqrt{13} - 1 $ 或 $ -\sqrt{13} - 1 $。
$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (\sqrt{5} - 1, -2) $ 或 $ (-\sqrt{5} - 1, -2) $ 或 $ (\sqrt{13} - 1, 2) $ 或 $ (-\sqrt{13} - 1, 2) $。
(3) 设直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = kx - 4 $。
将点 $ A(-4,0) $ 代入，得 $ -4k - 4 = 0 $，解得 $ k = -1 $，
$ \therefore $ 直线 $ AB $ 的解析式为 $ y = -x - 4 $。
设 $ F(c, -c - 4) $，则 $ E\left(c, \frac{1}{2}c^2 + c - 4\right) $。
$ \therefore EF = -c - 4 - \left(\frac{1}{2}c^2 + c - 4\right) = -\frac{1}{2}(c + 2)^2 + 2 $。
$ \therefore EF $ 的最大值为 2。
(4) 不存在。
$ \because EF \perp x $ 轴，$ \therefore EF // OB $。
$ \therefore $ 以 $ O $，$ B $，$ E $，$ F $ 为顶点的平行四边形只能是四边形 $ OBEF $。
$ \because OB = 4 $，$ EF \leq 2 $，$ \therefore EF \neq OB $。
$ \therefore $ 不存在以 $ O $，$ B $，$ E $，$ F $ 为顶点的平行四边形。