《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

复习
| | 图形 | 不同于一般平行四边形的性质 | 判定 |
| --- | --- | --- | --- |
| 矩形 | | （1）四个角都是直角；
（2）对角线相等 | （1）平行四边形 + 有一个角是直角 ⇒ 矩形；
（2）平行四边形 + 对角线相等 ⇒ 矩形；
（3）四边形 + 三个角都是直角 ⇒ 矩形 |
| 菱形 | | （1）四条边都相等；
（2）对角线互相垂直平分并且每条对角线平分一组对角 | （1）平行四边形 + 一组邻边相等 ⇒ 菱形；
（2）平行四边形 + 对角线互相垂直 ⇒ 菱形；
（3）四边形 + 四条边都相等 ⇒ 菱形 |
| 正方形 | | （1）四条边都相等；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角 | （1）矩形 + 有一组邻边相等或对角线互相垂直 ⇒ 正方形；
（2）菱形 + 有一个角是直角或对角线相等 ⇒ 正方形 |

答案：
(1)直角
(2)相等
(1)有一个角是直角
(2)对角线相等
(3)三个角都是直角
(1)相等
(2)互相垂直平分并且每条对角线平分一组对角
(1)一组邻边相等
(2)对角线互相垂直
(3)四条边都相等
(1)相等
(2)直角
(3)互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角
(1)有一组邻边相等或对角线互相垂直
(2)有一个角是直角或对角线相等

1. 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，$O$ 是两条对角线的交点，$AO = 4$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，则 $\angle BAO =$ $60^{\circ}$，$BD =$ $8\sqrt{3}$，面积为$32\sqrt{3}$。

答案： $60^{\circ}$ $8\sqrt{3}$ $32\sqrt{3}$

2. （2024·深圳期中）如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$CE // BD$，$DE // AC$，$AD = 2\sqrt{3}$，$DE = 2$，那么四边形 $OCED$ 的面积为______2$\sqrt{3}$。

答案： 2$\sqrt{3}$

3. 如图，$AC$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线，$E$ 为 $AC$ 上的一点，连接 $EB$，$ED$。当 $\angle BED = 126^{\circ}$ 时，$\angle EDA =$ ______18$^{\circ}$。

答案： 18

4. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$ 为中线，$CD = 2.5$，$BC = 3$，则 $AB =$ 5，$AC =$ 4。

答案： 5 4

5. 如图，将 $\square ABCD$ 折叠，使顶点 $B$ 落在边 $AD$ 上的点 $B'$ 处，$AE$ 为折痕。求证：四边形 $ABEB'$ 是菱形。

答案： 证明：由折叠可知
$\angle EAB'=\angle EAB$，$AB = AB'$，
又
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB'// BE$。
$\therefore \angle EAB'=\angle AEB$。
$\therefore \angle EAB=\angle AEB$。
$\therefore AB = BE$。
$\therefore AB'\underline{\underline{//}}BE$。
$\therefore$ 四边形 $ABEB'$ 是平行四边形。
又
∵ $AB = BE$，
$\therefore$ 四边形 $ABEB'$ 是菱形。

6. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $C$ 作 $CE // BD$，过点 $D$ 作 $DE // AC$，$CE$ 与 $DE$ 相交于点 $E$。
（1）求证：四边形 $CODE$ 是矩形；
（2）若 $AB = 5$，$AC = 6$，则四边形 $CODE$ 的周长为______14。

答案：
(1)证明：
∵ $CE// BD$，$DE// AC$，
$\therefore$ 四边形 $CODE$ 是平行四边形。
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore AC\perp BD$。
$\therefore \angle COD = 90^{\circ}$。
$\therefore$ 四边形 $CODE$ 是矩形。
(2)14