《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ }$。
(1)三边关系：$ a^{2}+b^{2}=c^{2} $；
(2)两锐角关系：$ \angle A+\angle B=90^{\circ} $；
(3)边角关系：
$ \sin A=\frac{a}{c}, \sin B=\frac{b}{c} $，
$ \cos A=\frac{b}{c}, \cos B=\frac{a}{c} $，
$ \tan A=\frac{a}{b}, \tan B=\frac{b}{a} $。

答案：
(1) $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $
(2) $ \angle A+\angle B=90^{\circ} $
(3) $ \sin A=\frac{a}{c}, \sin B=\frac{b}{c} $
$ \cos A=\frac{b}{c}, \cos B=\frac{a}{c} $
$ \tan A=\frac{a}{b}, \tan B=\frac{b}{a} $

解直角三角形的定义：
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

答案： 解直角三角形

2. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ },∠A=30^{\circ },BC=3$，解这个直角三角形。
解: $ \because \angle C=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ} $,
$ \therefore \angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ} $
$ =$60°.
$ \because \angle A=30^{\circ}, B C=3 $,
$ \therefore A B=2 B C=$6.
$ \therefore A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}} $
$ =\sqrt{6^{2}-3^{2}}=$$3\sqrt{3}$.

答案： 解: $ \because \angle C=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ} $,
$ \therefore \angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ} $
$ =60^{\circ} $.
$ \because \angle A=30^{\circ}, B C=3 $,
$ \therefore A B=2 B C=6 $.
$ \therefore A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}} $
$ =\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3 \sqrt{3} $.

3. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ },∠A=45^{\circ },AB=4$，解这个直角三角形。
解: $ \because \angle C=90^{\circ}, \angle A=45^{\circ} $,
$ \therefore \angle B=90^{\circ}-45^{\circ}=$$45^{\circ}$.
$ \because \angle A=\angle B=45^{\circ} $,
$ \therefore A C=$$BC$.
又 $ \because A B=4 $,
$ \therefore A C=B C=A B \cdot \cos 45^{\circ} $
$ =$$2\sqrt{2}$.

答案： 解: $ \because \angle C=90^{\circ}, \angle A=45^{\circ} $,
$ \therefore \angle B=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ} $.
$ \because \angle A=\angle B=45^{\circ} $,
$ \therefore A C=B C $.
又 $ \because A B=4 $,
$ \therefore A C=B C=A B \cdot \cos 45^{\circ} $
$ =2 \sqrt{2} $.

4. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ },AC=3\sqrt {2},AB=6$，解这个直角三角形。
解: 在 $ \mathrm{Rt} \triangle A B C $ 中,
$ \because A C=3 \sqrt{2}, A B=6 $,
$ \therefore \cos A=\frac{A C}{A B}=\frac{3 \sqrt{2}}{6}=$$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$ \therefore \angle A=$$45^{\circ}$.
$ \therefore \angle B=90^{\circ}-45^{\circ}=$$45^{\circ}$.
$ \therefore B C=A C=$$3\sqrt{2}$.

答案： 解: 在 $ \mathrm{Rt} \triangle A B C $ 中,
$ \because A C=3 \sqrt{2}, A B=6 $,
$ \therefore \cos A=\frac{A C}{A B}=\frac{3 \sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2} $.
$ \therefore \angle A=45^{\circ} $.
$ \therefore \angle B=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ} $.
$ \therefore B C=A C=3 \sqrt{2} $.

5. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠C=90^{\circ },BC=\sqrt {2},AC=\sqrt {6}$，解这个直角三角形。
解: 在 $ \mathrm{Rt} \triangle A B C $ 中,
$ \because B C=\sqrt{2}, A C=\sqrt{6} $,
$ \therefore \tan A=\frac{B C}{A C}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}= $$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$ \therefore \angle A=$$30^{\circ}$.
$ \therefore \angle B=90^{\circ}-30^{\circ}=$$60^{\circ}$,
$ A B=2 B C=$$2\sqrt{2}$.

答案： 解: 在 $ \mathrm{Rt} \triangle A B C $ 中,
$ \because B C=\sqrt{2}, A C=\sqrt{6} $,
$ \therefore \tan A=\frac{B C}{A C}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3} $.
$ \therefore \angle A=30^{\circ} $.
$ \therefore \angle B=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ} $,
$ A B=2 B C=2 \sqrt{2} $.