《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

7. (BS九上P21)如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且$CE=CF$.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由.

答案： 解：$BE = DF$，且$BE \perp DF$。理由如下：
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore BC = DC$，$\angle BCE = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle DCF = 180^{\circ} - \angle BCE = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BCE = \angle DCF$。
又$\because CE = CF$，
$\therefore \triangle BCE \cong \triangle DCF(SAS)$。
$\therefore BE = DF$，$\angle CBE = \angle CDF$。
如图，延长$BE$交$DF$于点$M$，
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$\because \angle DCF = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle CDF + \angle F = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle CBE + \angle F = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BMF = 90^{\circ}$。$\therefore BE \perp DF$。

8. (RJ八下P62改编)如图,在正方形ABCD中,G是BC上的任意一点,连接AG,$DE⊥AG$于点E,$BF⊥AG$于点F.求证:$AF-BF=EF$.
证明：$\because DE \perp AG$，
$\therefore \angle ADE + \angle EAD = 90^{\circ}$，
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle DAB = 90^{\circ}$，$AB = DA$。
$\therefore \angle BAF + \angle EAD = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle ADE = \angle BAF$。
$\because BF \perp AG$，$\therefore \angle AFB = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle AFB = \angle DEA$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DAE$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle AFB = \angle DEA, \\ \angle BAF = \angle ADE, \\ AB = DA, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABF \cong \triangle DAE$(AAS)。
$\therefore AE = BF$。
又$\because AF - AE = EF$，
$\therefore AF - BF = EF$。

答案： 证明：$\because DE \perp AG$，
$\therefore \angle ADE + \angle EAD = 90^{\circ}$，
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle DAB = 90^{\circ}$，$AB = DA$。
$\therefore \angle BAF + \angle EAD = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle ADE = \angle BAF$。
$\because BF \perp AG$，$\therefore \angle AFB = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle AFB = \angle DEA$。
在$\triangle ABF$和$\triangle DAE$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle AFB = \angle DEA, \\ \angle BAF = \angle ADE, \\ AB = DA, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABF \cong \triangle DAE(AAS)$。
$\therefore AE = BF$。
又$\because AF - AE = EF$，
$\therefore AF - BF = EF$。

9. (2024·梅州一模)如图,在正方形ABCD内有一点P,且$PA=3,PB=2,PC=1$.将线段BP绕点B逆时针旋转$90^{\circ }$得到线段$BP'$,连接$AP',PP'$.
(1)求证:$△P'BA\cong △PBC$;
证明：由旋转，得$\angle P'BP = 90^{\circ}$，$P'B = PB$，
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = CB$。
$\therefore \angle ABP' = 90^{\circ} - \angle ABP =$$\angle CBP$。
在$\triangle P'BA$和$\triangle PBC$中，
$\left\{\begin{array}{l} P'B = PB, \\ \angle ABP' = \angle CBP, \\ AB = CB, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle P'BA \cong \triangle PBC$(SAS)。
(2)求$∠BPC$的度数;
解：$\because \triangle P'BA \cong \triangle PBC$，
$\therefore P'A =$$PC$$= 1$。
由旋转可知，$\triangle BPP'$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle BP'P =$$45^{\circ}$，
$PP' =$$\sqrt{2}PB$$= 2\sqrt{2}$。
$\therefore P'A^{2} + P'P^{2} = 1 + 8 = 3^{2} =$$PA^{2}$。
$\therefore \angle AP'P =$$90^{\circ}$。
$\therefore \angle BPC = \angle BP'A = 90^{\circ} + 45^{\circ} =$$135^{\circ}$。
(3)求证:P,$P'$,C三点共线.
证明：由(2)得$\triangle BPP'$是等腰直角三角形。
$\therefore \angle BPP' =$$45^{\circ}$。
又$\because \angle BPC =$$135^{\circ}$，
$\therefore \angle BPP' + \angle BPC = 180^{\circ}$。
$\therefore P$，$P'$，$C$三点共线。

答案：
(1) 证明：由旋转，得$\angle P'BP = 90^{\circ}$，$P'B = PB$，
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore \angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = CB$。
$\therefore \angle ABP' = 90^{\circ} - \angle ABP = \angle CBP$。
在$\triangle P'BA$和$\triangle PBC$中，
$\left\{\begin{array}{l} P'B = PB, \\ \angle ABP' = \angle CBP, \\ AB = CB, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle P'BA \cong \triangle PBC(SAS)$。
(2) 解：$\because \triangle P'BA \cong \triangle PBC$，
$\therefore P'A = PC = 1$。
由旋转可知，$\triangle BPP'$是等腰直角三角形，
$\therefore \angle BP'P = 45^{\circ}$，
$PP' = \sqrt{2}PB = 2\sqrt{2}$。
$\therefore P'A^{2} + P'P^{2} = 1 + 8 = 3^{2} = PA^{2}$。
$\therefore \angle AP'P = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BPC = \angle BP'A = 90^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ}$。
(3) 证明：由
(2)得$\triangle BPP'$是等腰直角三角形。
$\therefore \angle BPP' = 45^{\circ}$。
又$\because \angle BPC = 135^{\circ}$，
$\therefore \angle BPP' + \angle BPC = 180^{\circ}$。
$\therefore P$，$P'$，$C$三点共线。

10. 如图,在正方形纸片ABCD中,$AB=6$,G是BC的中点,将$△ABG$沿AG翻折至$△AFG$,延长GF交DC于点E.
(1)求证:$DE=EF$;
(2)求DE的长.2

答案：
(1) 证明：如图，连接$AE$，
![img alt=10]
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB = AD$，$\angle D = \angle B = 90^{\circ}$。
由折叠，得$AB = AF$，
$\angle AFG = \angle B = 90^{\circ}$。
$\therefore AF = AD$，
$\angle AFE = 90^{\circ} = \angle D$。
在$Rt\triangle AFE$和$Rt\triangle ADE$中，
$\left\{\begin{array}{l} AE = AE, \\ AF = AD. \end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle AFE \cong Rt\triangle ADE(HL)$。
$\therefore DE = EF$。
(2) 解：设$DE = x$。
$\because G$是$BC$的中点，$AB = 6$，
$\therefore GC = GB = GF = 3$。
在$Rt\triangle GCE$中，由勾股定理，得$GE^{2} = GC^{2} + CE^{2}$，
即$(3 + x)^{2} = 3^{2} + (6 - x)^{2}$，
解得$x = 2$。
$\therefore DE = 2$。