《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

9. 用配方法解方程:$2x^{2}=3x-1$.

答案： 解：$x^2 = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$。
$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$。
$x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{4})^2$。
$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$。
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{1}{4}$。
$x = \frac{3}{4} \pm \frac{1}{4}$。
$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = 1$。

10. (2024·罗湖区模拟)用配方法解方程:
$2x^{2}+5x-1=0$.

答案： 解：$x^2 + \frac{5}{2}x = \frac{1}{2}$。
$x^2 + \frac{5}{2}x + (\frac{5}{4})^2 = \frac{1}{2} + (\frac{5}{4})^2$。
$(x + \frac{5}{4})^2 = \frac{33}{16}$。
$x + \frac{5}{4} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4}$。
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{33}}{4}$。
$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{33}}{4}$，
$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{33}}{4}$。

11. (2024·深圳三模)将方程$x^{2}-4x-3=0$化成$(x-m)^{2}=n$($m$,$n$为常数)的形式,则$m=$2,$n=$7.

答案： 2 7

12. (2024·顺德区月考)小明设计了一个魔术盒,当任意实数对$(a,b)$进入其中,会得到一个新的实数$a^{2}-2b+3$.若将实数对$(x,-2x)$放入其中,得到$-1$,则$x=$-2.

答案： -2

13. 解方程:$x^{2}-4x-96=0$.

答案： 解：$x^2 - 4x = 96$。
$x^2 - 4x + 2^2 = 96 + 2^2$。
$(x - 2)^2 = 100$。
$x - 2 = \pm 10$。
$x = 2 \pm 10$。
$x_1 = 12$，$x_2 = -8$。

14. (2024·顺德区月考)解方程:$2x^{2}+4x+1=0$.

答案： 解：$2x^2 + 4x = -1$。
$x^2 + 2x = -\frac{1}{2}$。
$x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{2}$。
$(x + 1)^2 = \frac{1}{2}$。
$x + 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。
$x = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。
$x_1 = -1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = -1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$。

15. (2024·揭阳期中)阅读材料:
我们知道$x^{2}\geqslant0$,$(a\pm b)^{2}\geqslant0$这一性质在数学中有着广泛的应用,比如探求多项式$3x^{2}+6x-2$的最小值时,我们可以这样处理:
$3x^{2}+6x-2=3(x^{2}+2x)-2=3(x^{2}+2x+1^{2}-1^{2})-2=3[(x+1)^{2}-1^{2}]-2=3(x+1)^{2}-5$.
因为$(x+1)^{2}\geqslant0$,所以$3(x+1)^{2}-5\geqslant0-5$.
所以当$x=-1$时,$3(x+1)^{2}-5$取得最小值$-5$.
(1)求多项式$2x^{2}-8x+3$的最小值,并写出对应的$x$的取值;最小值为-5，对应的$x$的值为2
(2)多项式$x^{2}-2x+y^{2}-4y+7$的最小值为2;
(3)已知$a$,$b$,$c$是$\triangle ABC$的三边长,满足$a^{2}+b^{2}=10a+12b-61$,且$\triangle ABC$是等腰三角形,则$c$的值为5或6.

答案： 解：
(1) $2x^2 - 8x + 3$
$= 2(x^2 - 4x) + 3$
$= 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3$
$= 2[(x - 2)^2 - 4] + 3$
$= 2(x - 2)^2 - 5$。
$\because (x - 2)^2 \geq 0$，
$\therefore 2(x - 2)^2 - 5 \geq 0 - 5$。
$\therefore$ 当 $x = 2$ 时，$2(x - 2)^2 - 5$ 取得最小值 $-5$。
(2) 2
(3) 5 或 6