《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

3.(BS 九上 P166 - P167 改编)【阅读理解】对于任意正实数 a,b,因为$(\sqrt {a}-\sqrt {b})^{2}≥0$,所以$a-2\sqrt {ab}+b≥0$,所以$a+b≥2\sqrt {ab}$(只有当$a=b$时,$a+b=2\sqrt {ab}).$
【获得结论】在$a+b≥2\sqrt {ab}$(a,b 均为正实数)中,若 ab 为定值 p,则$a+b≥2\sqrt {p}$,只有当$a=b$时,$a+b$有最小值$2\sqrt {p}.$
【探索应用】根据上述内容,解答下列问题:
(1)若$m＞0$,只有当$m=$____时,$m+\frac {4}{m}$有最小值____;
(2)如图,已知$Q(-4,-5)$是双曲线$y=\frac {k}{x}$上的点,过点 Q 作$QA⊥x$轴于点 A,作$QB⊥y$轴于点 B.P 为双曲线$y=\frac {k}{x}(x＞0)$上任意一点,连接 PA,PB,求四边形 AQBP 面积的最小值.

答案：
解:
(1)依题意,得
$m+\frac {4}{m}≥2\sqrt {m\cdot \frac {4}{m}}=4,$
当$m=\frac {4}{m}$时,$m=2,$
此时$m+\frac {4}{m}$有最小值4.
故答案分别为2,4.
(2)如图,连接PQ,
$\because Q(-4,-5)$是双曲线$y=\frac {k}{x}$上的点,
$\therefore k=-4×(-5)=20,$
即$y=\frac {20}{x}.$
设$P(x,\frac {20}{x}).$
$\therefore S_{四边形AQBP}$
$=S_{△APQ}+S_{△BPQ}$
$=\frac {1}{2}×5(x+4)+\frac {1}{2}×4(\frac {20}{x}+5)$
$=\frac {5}{2}x+\frac {40}{x}+20$
$≥2\sqrt {\frac {5}{2}x\cdot \frac {40}{x}}+20=40.$
$\therefore$当$\frac {5}{2}x=\frac {40}{x}$,即$x=4$时,$S_{四边形AQBP}$有最小值40.
$\therefore$四边形AQBP面积的最小值为40.