《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
|图示|菱形的性质|几何语言|
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||(1)菱形具有平行四边形的所有性质.
(2)菱形不同于一般平行四边形的性质:
①四条边都相等;
②两条对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角;
③是轴对称图形,有2条对称轴|∵四边形ABCD是菱形,
∴(边)$AB=BC=CD=AD$，$AB// CD$，$BC// AD$;
(角)$∠BAD=∠BCD$，$∠ABC=∠ADC$;
(对角线)$AO=CO$，$BO=DO$，$AC⊥BD$，$∠BAO=∠DAO$，$∠ABO=∠CBO$，$∠ADO=∠CDO$，$∠BCO=∠DCO$|
菱形的周长:$C = 4AB$;菱形的面积:$S =$底×高或$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD$

答案： 相等 平行四边形
(2)①相等
②互相垂直 平分一组对角
③轴对称 2
$AB=BC=CD=AD$，$AB// CD$，$BC// AD$
$∠BAD=∠BCD$，$∠ABC=∠ADC$
$AO=CO$，$BO=DO$，$AC⊥BD$，
$∠BAO=∠DAO$，$∠ABO=∠CBO$，
$∠ADO=∠CDO$，$∠BCO=∠DCO$

1. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O.
(1)若$AB = 3cm$,则菱形周长为____12cm;
(2)若$∠BAD = 80^{\circ}$,则$∠BAC =$____40$^{\circ}$,$∠ABD =$____50$^{\circ}$.

答案： 1.
(1)$12cm$
(2)$40$ $50$

2. (BS九上P5改编)如图所示为菱形ABCD.
(1)图中有4个直角三角形,有4个等腰三角形;
(2)当$∠BAD =$120$^{\circ}$时,$△ABC$是等边三角形.

答案： 2.
(1)$4$ $4$
(2)$120$

3. (2024·南海区月考)如图,菱形ABCD的边长为6cm,对角线AC,BD相交于点O,$∠BAD = 60^{\circ}$.
(1)求对角线AC,BD的长;
(2)求菱形的面积.

答案： 3. 解：
(1)$∵$四边形$ABCD$是菱形，
$∴AB=BC=CD=AD=6cm$，
$AC⊥BD$，$OB=OD$，$OA=OC$。
$∵∠BAD=60^{\circ}$，
$∴\triangle ABD$是等边三角形。
$∴BD=AB=6cm$。
$∴OB=3cm$。
在$Rt\triangle AOB$中，
$OA=\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}$
$=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}(cm)$，
$∴AC=2OA=2×3\sqrt{3}$
$=6\sqrt{3}(cm)$。
(2)$S_{菱形}=\frac{1}{2}BD\cdot AC$
$=\frac{1}{2}×6×6\sqrt{3}$
$=18\sqrt{3}(cm^{2})$。

4. (BS九上P8改编)如图,菱形ABCD的周长为52cm,对角线BD长10cm,求:
(1)对角线AC的长度为24cm;
(2)菱形ABCD的面积为120cm².

答案： 4. 解：
(1)$∵$四边形$ABCD$是菱形，
$∴AC⊥BD$，$AE=CE$，
$BE=DE=\frac{1}{2}BD$
$=\frac{1}{2}×10=5(cm)$，
$AB=\frac{1}{4}×52=13(cm)$。
$∴$在$Rt\triangle ABE$中，
$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}$
$=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12(cm)$。
$∴AC=2AE=2×12$
$=24(cm)$。
(2)$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD$
$=\frac{1}{2}×24×10$
$=120(cm^{2})$。