《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

2. (2024·槐荫区期末)【教材呈现】如下是北师大版数学课本九年级上册第 6 页的部分内容。
如图 1，分别以点 A，C 为圆心，以大于 $\frac{1}{2}AC$ 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A，B，C，D，四边形 ABCD 看上去是菱形。
定理：四边相等的四边形是菱形。
(1)【定理证明】请你结合上述材料，完成这个定理的证明；
(2)【实际应用】应用上述定理解决实际问题：周末，小辰和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图 2 所示，四边形 ABCD 是一个菱形内框架，四边形 AECF 是其外部框架，且点 E，B，D，F 在同一直线上，BE = DF。
①求证：四边形 AECF 是菱形；
②若外框 AECF 的周长为 80 cm，EF = 32 cm，BE = 7 cm，求出 AB 的长。

答案：

(1)证明:由题意可知
AB=BC=CD=DA,
∴AB=CD,BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)①证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,
∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB.
∴∠ABE=∠CBE=∠CDF=∠ADF.
又
∵BE=BE,
∴△ABE≌△CBE(SAS).
∴AE=CE.
同理可得AE=AF,CE=CF,
∴AE=CE=CF=AF.
∴四边形AECF是菱形.
②解:如图2,连接AC交EF于点O,

∵四边形AECF是菱形,周长为80cm,EF=32cm,
∴AE=20cm,
OE=OF=16cm,AC⊥EF,
∴OB=OE-BE
=16-7=9(cm),
∠AOB=90°.
∴OA=$\sqrt{AE^{2}-OE^{2}}$
=$\sqrt{20^{2}-16^{2}}$
=12(cm).
∴AB=$\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}$
=$\sqrt{12^{2}+9^{2}}$=15(cm).