《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

|图形|正方形的判定(1)|正方形的判定(2)|正方形的判定(3)|正方形的判定(4)|
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||有一组邻边相等的矩形是正方形|对角线互相垂直的矩形是正方形|有一个角是直角的菱形是正方形|对角线相等的菱形是正方形|

答案： 相等 互相垂直 直角 相等

1. 已知在四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（D）
A. $\angle D = 90^{\circ}$
B. $AB = CD$
C. $AD = BC$
D. $BC = CD$

答案： 1. D

2. 已知在四边形 $ABCD$ 中，$AB = BC = CD = AD$，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（B）
A. $AB// CD$
B. $\angle A = 90^{\circ}$
C. $AD// BC$
D. $\angle A=\angle C$

答案： 2. B

3. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$ 平分 $\angle ACB$，$DE\perp AC$ 于点 $E$，$DF\perp BC$ 于点 $F$。求证：四边形 $CEDF$ 是正方形。

答案： 3. 证明：
∵ CD 平分∠ACB，
DE⊥AC，DF⊥BC，
∴ DE = DF，
∠DFC = ∠DEC = 90°。
又
∵ ∠ACB = 90°，
∴ 四边形 CEDF 是矩形。
∵ DE = DF，
∴ 四边形 CEDF 是正方形。

4. (BS 九上 P23) 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$BE$ 平分 $\angle ABC$，$CE$ 平分 $\angle DCB$，$BF// CE$，$CF// BE$。求证：四边形 $BECF$ 是正方形。


证明：∵ BF//CE，CF//BE，
∴ 四边形 BECF 是平行四边形。
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠ABC = ∠DCB = 90°。
又∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 45°，
∠ECB = $\frac{1}{2}$∠DCB = 45°。
∴ ∠EBC = ∠ECB，
∴ EB = EC。
∴ □BECF 是菱形。
在△EBC 中，
∵ ∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，
∴ ∠BEC = 90°。
∴ 四边形 BECF 是正方形。

答案： 4. 证明：
∵ BF//CE，CF//BE，
∴ 四边形 BECF 是平行四边形。
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠ABC = ∠DCB = 90°。
又
∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB
∴ ∠EBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 45°，
∠ECB = $\frac{1}{2}$∠DCB = 45°。
∴ ∠EBC = ∠ECB，
∴ EB = EC。
∴ □BECF 是菱形。
在△EBC 中，
∵ ∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，
∴ ∠BEC = 90°。
∴ 四边形 BECF 是正方形。