《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，点B是线段AC的黄金分割点$(AB＞BC)$，则下列结论中，正确的是（C）

A. $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$
B. $BC^{2}=AC\cdot AB$
C. $\frac {AB}{AC}=\frac {\sqrt {5}-1}{2}$
D. $\frac {BC}{AC}=\frac {\sqrt {5}-1}{2}$

答案： C

2. 点M将线段AB黄金分割$(AM＞BM)$，则下列各式中不正确的是（C）
A. $AM:BM = AB:AM$
B. $AM=\frac {\sqrt {5}-1}{2}AB$
C. $BM=\frac {\sqrt {5}-1}{2}AB$
D. $AM\approx 0.618AB$

答案： C

3. （2024·福田区月考）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计在整个车身黄金分割点的位置（如图，$AC＜BC$），若该车车身总长AB约为5m，则车头A与后视镜C的水平距离约为$\frac{15 - 5\sqrt{5}}{2}$m。
（提示：黄金分割比$=\frac {\sqrt {5}-1}{2}$）

答案： $\frac{15 - 5\sqrt{5}}{2}$

4. 我们将宽与长的比是黄金比的矩形称为黄金矩形。已知矩形ABCD是黄金矩形且长$AB = 10$，则宽BC为（B）

A. $2\sqrt {5}$
B. $5\sqrt {5}-5$
C. $15 - 5\sqrt {5}$
D. $0.618$

答案： B

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$∠A = 36^{\circ}$，BD平分$∠ABC$。求证：$\frac {BC}{AB}=\frac {\sqrt {5}-1}{2}$。

答案： 证明：$\because AB = AC$，$\angle A = 36^{\circ}$，
$\therefore \angle ABC = \angle C$
$= \frac{1}{2} \times (180^{\circ} - 36^{\circ})$
$= 72^{\circ}$。
$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD = \angle CBD$
$= \frac{1}{2} \angle ABC = 36^{\circ}$。
$\therefore DA = DB$。
$\because \angle BDC = \angle A + \angle ABD = 72^{\circ}$，
$\therefore BD = BC$。$\therefore AD = BC$。
$\because \angle A = \angle CBD$，$\angle C = \angle C$，
$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle BDC$。
$\therefore BC:DC = AC:BC$。
$\therefore AD:DC = AC:AD$。
$\therefore$点$D$为$AC$的黄金分割点。
$\therefore \frac{AD}{AC} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。$\therefore \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，在边AB上截取$AD = AC$，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则$∠A$的度数是$36^{\circ}$。

答案： $36^{\circ}$