《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 将$x^{2}+4=5x$化为一元二次方程的一般形式:$ x^{2}-5x + 4 = 0 $;其中$a=$$ 1 $,$b=$$ -5 $,$c=$$ 4 $.

答案： $ x^{2}-5x + 4 = 0 $ $ 1 $ $ -5 $ $ 4 $

一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$的求根公式:$x=$$ \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $.(其中$b^{2}-4ac$记作$\Delta$,且$\Delta≥0$)

答案： $ \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $

知识点1 $\Delta＞0\Rightarrow x_{1}≠x_{2}$
2. 用公式法解一元二次方程:$x^{2}-3x=4$.
解：方程化为 $ x^{2}-3x - 4 = 0 $。
$ \because a = 1 $，$ b = -3 $，$ c = -4 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-3)^{2}-4×1×(-4) $
$ = 25＞0 $，
$ \therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ = \frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2×1}=\frac{3\pm5}{2} $。
$ \therefore x_{1}=4 $，$ x_{2}=-1 $。
3. (2024·佛山期中)用公式法解方程:$5x^{2}+1=6x$.
解：方程化为 $ 5x^{2}-6x + 1 = 0 $。
$ \because a = 5 $，$ b = -6 $，$ c = 1 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-6)^{2}-4×5×1 $
$ = 16＞0 $，
$ \therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ = \frac{-(-6)\pm\sqrt{16}}{2×5} $
$ = \frac{3\pm2}{5} $。
$ \therefore x_{1}=1 $，$ x_{2}=\frac{1}{5} $。

答案： 2. 解：方程化为 $ x^{2}-3x - 4 = 0 $。
$ \because a = 1 $，$ b = -3 $，$ c = -4 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-3)^{2}-4\times1\times(-4) $
$ = 25＞0 $，
$ \therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ = \frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2\times1}=\frac{3\pm5}{2} $。
$ \therefore x_{1}=4 $，$ x_{2}=-1 $。
3. 解：方程化为 $ 5x^{2}-6x + 1 = 0 $。
$ \because a = 5 $，$ b = -6 $，$ c = 1 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-6)^{2}-4\times5\times1 $
$ = 16＞0 $，
$ \therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ = \frac{-(-6)\pm\sqrt{16}}{2\times5} $
$ = \frac{3\pm2}{5} $。
$ \therefore x_{1}=1 $，$ x_{2}=\frac{1}{5} $。

知识点2 $\Delta=0\Rightarrow x_{1}=x_{2}=-\frac {b}{2a}$
4. 用公式法解方程:$x^{2}+1=-2x$.
解：方程化为 $ x^{2}+2x + 1 = 0 $。
$ \because a = 1 $，$ b = 2 $，$ c = 1 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4×1×1 = 0 $，
$ \therefore x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a} $
$ = -\frac{2}{2×1}=$-1。
5. (2024·宝安区期中)用公式法解方程:$4x^{2}=4x-1$.
解：方程化为 $ 4x^{2}-4x + 1 = 0 $。
$ \because a = 4 $，$ b = -4 $，$ c = 1 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-4)^{2}-4×4×1 $
$ = 0 $，
$ \therefore x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×4}=$$\frac{1}{2}$。

答案： 4. 解：方程化为 $ x^{2}+2x + 1 = 0 $。
$ \because a = 1 $，$ b = 2 $，$ c = 1 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac = 2^{2}-4\times1\times1 = 0 $，
$ \therefore x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a} $
$ = -\frac{2}{2\times1}=-1 $。
5. 解：方程化为 $ 4x^{2}-4x + 1 = 0 $。
$ \because a = 4 $，$ b = -4 $，$ c = 1 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-4)^{2}-4\times4\times1 $
$ = 0 $，
$ \therefore x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times4}=\frac{1}{2} $。

知识点3 $\Delta＜0\Rightarrow$方程无实数根
6. 用公式法解方程:$2x(x-1)+1=0$.
解：方程化为 $ 2x^{2}-2x + 1 = 0 $。
$ \because a = 2 $，$ b = -2 $，$ c = 1 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-2)^{2}-4×2×1 $
$ = -4＜0 $，
$ \therefore $方程无实数根。
7. (2024·高州开学改编)用公式法解方程:$3x(x-2)+8=0$.
解：方程化为 $ 3x^{2}-6x + 8 = 0 $。
$ \because a = 3 $，$ b = -6 $，$ c = 8 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-6)^{2}-4×3×8 $
$ = -60＜0 $，
$ \therefore $方程无实数根。

答案： 6. 解：方程化为 $ 2x^{2}-2x + 1 = 0 $。
$ \because a = 2 $，$ b = -2 $，$ c = 1 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-2)^{2}-4\times2\times1 $
$ = -4＜0 $，
$ \therefore $方程无实数根。
7. 解：方程化为 $ 3x^{2}-6x + 8 = 0 $。
$ \because a = 3 $，$ b = -6 $，$ c = 8 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-6)^{2}-4\times3\times8 $
$ = -60＜0 $，
$ \therefore $方程无实数根。