《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. (2024·越秀区校级期中)“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力.
定义：方程$cx^{2}+bx+a=0$是一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$的倒方程，其中$a$，$b$，$c$均不为$0$. 请根据此定义解答下列问题：
(1)方程$-12x^{2}-x+1=0$的倒方程是$x^{2}-x - 12 = 0$；
(2)若$x=5$是$x^{2}-3x+c=0$的倒方程的解，求出$c$的值；
(3)若$m$，$n$是一元二次方程$x^{2}-5x-1=0$的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式$2n^{2}-mn-10m$的值.

答案： 解:
(1) $ x^{2}-x - 12 = 0 $
(2) 由题意知, 方程 $ x^{2}-3x + c = 0 $ 的倒方程为 $ cx^{2}-3x + 1 = 0 $, 将 $ x = 5 $ 代入方程 $ cx^{2}-3x + 1 = 0 $, 得 $ 25c - 15 + 1 = 0 $, 解得 $ c = \frac{14}{25} $.
(3) 由题意知, 一元二次方程 $ x^{2}-5x - 1 = 0 $ 的倒方程是 $ -x^{2}-5x + 1 = 0 $, $ \therefore m,n $ 是方程 $ -x^{2}-5x + 1 = 0 $ 的两个不相等的实数根. $ \therefore m + n = -5,mn = -1 $, $ -n^{2}-5n + 1 = 0 $. $ \therefore n^{2} = -5n + 1 $. $ \therefore 2n^{2}-mn - 10m = 2(-5n + 1)-mn - 10m = -10n + 2 - mn - 10m = -10(m + n)-mn + 2 = -10×(-5)-(-1)+2 = 53 $.

2. (2024·白云区期中)【阅读材料】
材料一：为解方程$(x^{2})^{2}-5x^{2}+4=0$，我们可以将$x^{2}$看作一个整体，然后设$y=x^{2}$，那么原方程可化为$y^{2}-5y+4=0$，经过运算，原方程的解是$x_{1}=1$，$x_{2}=-1$，$x_{3}=2$，$x_{4}=-2$.
我们将上述解题的方法称作换元法.
材料二：已知实数$m$，$n$满足$m^{2}-m-1=0$，$n^{2}-n-1=0$，且$m≠n$，显然$m$，$n$是方程$x^{2}-x-1=0$的两个不相等的实数根，由韦达定理可知$m+n=1$，$mn=-1$.
根据上述材料，解答以下问题：
(1)【直接应用】为解方程$x^{4}-x^{2}-6=0$，可设$y=$$x^{2}$，原方程可化为$y^{2}-y-6=0$.经过运算，原方程的解是$x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=-\sqrt{3}$；
(2)【间接应用】已知实数$a$，$b$满足$a^{4}-3a^{2}+1=0$，$b^{4}-3b^{2}+1=0$，且$a≠b$，求$a^{4}+b^{4}$的值；
(3)(2024·中山期中节选)请参考材料一解法，解下列方程：$x^{2}+2x-2\sqrt{x^{2}+2x}-3=0$.

答案： 解:
(1) $ x^{2} y^{2}-y - 6 = 0 $ $ x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=-\sqrt{3} $
(2) 设 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $ 的两个根分别为 $ x_{1},x_{2} $, 则 $ x_{1}+x_{2}=3,x_{1}x_{2}=1 $. $ \because x_{1},x_{2} $ 不互为相反数. $ \therefore x_{1}^{2}≠x_{2}^{2} $. $ \because $ 实数 $ a,b $ 满足 $ a^{4}-3a^{2}+1 = 0 $, $ b^{4}-3b^{2}+1 = 0 $, 且 $ a≠b $, $ \therefore a^{2}≠b^{2} $. $ \therefore a^{2},b^{2} $ 是方程 $ x^{2}-3x + 1 = 0 $ 的两个根. $ \therefore a^{2}+b^{2}=3,a^{2}b^{2}=1 $. $ \therefore a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}=3^{2}-2×1 = 9 - 2 = 7 $.
(3) 设 $ \sqrt{x^{2}+2x}=a $, 则 $ a≥0 $. 原方程转化为 $ a^{2}-2a - 3 = 0 $, 解得 $ a = -1 $ (不合题意, 舍去) 或 $ a = 3 $. $ \therefore \sqrt{x^{2}+2x}=3 $, 解得 $ x_{1}=-1-\sqrt{10} $, $ x_{2}=-1+\sqrt{10} $. 经检验, $ x_{1},x_{2} $ 满足二次根式的取值范围, $ \therefore $ 原方程的解为 $ x_{1}=-1-\sqrt{10} $, $ x_{2}=-1+\sqrt{10} $.