《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. (2024·巴彦县一模)为了加强视力保护意识,欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表,但两面墙的距离只有3m.在一次课题学习课上,欢欢向全班同学征集"解决空间过小,如何放置视力表的问题"的方案,其中甲、乙两位同学设计方案新颖,构思巧妙.
| | 甲 | 乙 |
| --- | --- | --- |
| 图例 | | |
| 方案 | 如图1,①是测试距离为5m的大视力表,可以用硬纸板制作一个测试距离为3m的小视力表②.通过测量大视力表中"E"的高度(BC的长),即可求出小视力表中相应的"E"的高度(DF的长) | 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图2,在相距3m的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN),由平面镜成像原理作出了光路图.通过调整人的位置,使得视力表AB的上、下边沿A,B发出的光线经平面镜MN的上、下边沿反射后射人人眼C处,分别延长反射光线CM,CN至点A',B',使A'B'=AB.通过测量视力表的全长AB就可以计算出镜长MN |
(1)在甲同学的方案中,如果大视力表中"E"的高度是3.5cm,那么小视力表中相应"E"的高度是多少?
(2)在乙同学的方案中,如果视力表的全长为0.8m,请计算出镜长至少为多少米.

答案：
解:
(1) 依题意, 得 $ BC \perp AB $, $ DF \perp AD $,
$ \therefore \angle CBA = \angle FDA = 90 ^ { \circ } $.
又 $ \because \angle CAB = \angle FAD $,
$ \therefore \triangle CAB \sim \triangle FAD $.
$ \therefore \frac { A B } { A D } = \frac { B C } { D F } $.
依题意, 得 $ A D = 3 \mathrm { ~m } $,
$ A B = 5 \mathrm { ~m } $, $ B C = 3.5 \mathrm { ~cm } $,
$ \therefore \frac { 5 } { 3 } = \frac { 3.5 } { D F } $, 解得 $ D F = 2.1 $.
答: 小视力表中相应 “E” 的高度是 $ 2.1 \mathrm { ~cm } $.
(2) 如图 2, 过点 $ C $ 作 $ C D \perp M N $ 于点 $ D $, $ C D $ 的延长线交 $ A ^ { \prime } B ^ { \prime } $ 于点 $ E $,

依题意, 得 $ A B // M N // A ^ { \prime } B ^ { \prime } $,
$ \because M N // A ^ { \prime } B ^ { \prime } $, $ C D \perp M N $,
$ \therefore C E \perp A ^ { \prime } B ^ { \prime } $,
$ \triangle M N C \sim \triangle A ^ { \prime } B ^ { \prime } C $.
$ \therefore \frac { M N } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { C D } { C E } $.
依题意, 得 $ C E = 5 \mathrm { ~m } $, $ D E = 3 \mathrm { ~m } $,
$ A ^ { \prime } B ^ { \prime } = A B = 0.8 \mathrm { ~m } $,
$ \therefore C D = C E - D E = 2 ( \mathrm { ~m } ) $.
$ \therefore \frac { M N } { 0.8 } = \frac { 2 } { 5 } $, 解得 $ M N = 0.32 $.
答: 镜长至少为 $ 0.32 \mathrm { ~m } $.