《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 求抛物线$y = 2x^{2}+12x - 2$的顶点坐标.

答案： 解：$\because y = 2(x^{2} + 6x) - 2$
$= 2(x^{2} + 6x + 9 - 9) - 2$
$= 2(x^{2} + 6x + 9) - 2 \times 9 - 2$
$= 2(x + 3)^{2} - 20$，
$\therefore$ 顶点坐标为 $(-3, -20)$。

2. 求抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的顶点坐标.
解：$y = ax^{2}+bx + c = a(x^{2}+\frac{b}{a}x)+c = a(x^{2}+\frac{b}{a}x + $$\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$- $$\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$)+c$，
所以$y = a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}$，顶点坐标为($-\frac{b}{2a}$, $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$).

答案： $\frac{b^{2}}{4a^{2}}$ $\frac{b^{2}}{4a^{2}}$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$

课堂总结：
二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$.
(1)化为顶点式$y = a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4ac - b^{2}}{4a}$；(2)顶点坐标：$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$；
(3)对称轴：直线$x = $$-\frac{b}{2a}$；(4)当$x = $$-\frac{b}{2a}$时，$y$的最值为$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$.

答案： $-\frac{b}{2a}$ $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$

3. 求抛物线$y = - 2x^{2}+4x - 1$的对称轴及顶点坐标.

答案： 解：$a = -2$，$b = 4$，$c = -1$，
$\therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times (-2)} = 1$，
$\frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 \times (-2) \times (-1) - 4^{2}}{4 \times (-2)}$
$= 1$。
$\therefore$ 对称轴为直线 $x = 1$，顶点坐标为 $(1, 1)$。

4. 求抛物线$y = 2x^{2}-12x + 1$的对称轴及顶点坐标.

答案： 解：$a = 2$，$b = -12$，$c = 1$，
$\therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \times 2} = 3$，
$\frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 \times 2 \times 1 - (-12)^{2}}{4 \times 2}$
$= -17$。
$\therefore$ 对称轴为直线 $x = 3$，顶点坐标为 $(3, -17)$。

5. 【易错题】求抛物线$y = -\frac{3}{2}x^{2}+x + 1$的对称轴及顶点坐标.

答案： 解：$a = -\frac{3}{2}$，$b = 1$，$c = 1$，
$\therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \times (-\frac{3}{2})} = \frac{1}{3}$，
$\frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 \times (-\frac{3}{2}) \times 1 - 1^{2}}{4 \times (-\frac{3}{2})}$
$= \frac{7}{6}$。
$\therefore$ 对称轴为直线 $x = \frac{1}{3}$，顶点坐标为 $(\frac{1}{3}, \frac{7}{6})$。

6. 求抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2}+2x - 3$的开口方向、对称轴及顶点坐标.

答案： 解：$a = \frac{1}{2}$，$b = 2$，$c = -3$，
$\therefore -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times \frac{1}{2}} = -2$，
$\frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 \times \frac{1}{2} \times (-3) - 2^{2}}{4 \times \frac{1}{2}}$
$= -5$。
$\therefore$ 该抛物线的开口向上，对称轴是直线 $x = -2$，顶点坐标为 $(-2, -5)$。