《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 如图，$S_{△OAP}=$3.

答案： 3

2. (1)已知$A(-1,0)$，$B(2,0)$，则$AB=$3；
(2)已知$A(0,4)$，$B(0,1)$，则$AB=$3.

答案：
(1) 3
(2) 3

3. 如图，抛物线顶点为$A(2,0)$，过点$C(3,1)$，与$y$轴交于点$B$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点$B$的坐标；
(3)求四边形$OACB$的面积.

答案：
解：
(1) 设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)^2 $。
将点 $ C(3,1) $ 代入得 $ (3 - 2)^2a = 1 $，
$ \therefore a = 1 $。
$ \therefore y = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 $。
(2) 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 4 $，
$ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ (0,4) $。
(3) 如图，过点 $ C $ 作 $ CD \perp x $ 轴于点 $ D $，
$ \therefore S_{四边形OACB} = S_{梯形OBCD} - S_{\triangle ACD} $
$ = \frac{1}{2} \times (1 + 4) \times 3 - \frac{1}{2} \times (3 - 2) \times 1 $
$ = 7 $。

4. 如图，抛物线顶点为$C$，与$y$轴交于点$P(0,3)$.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与$x$轴的交点坐标；
(3)求四边形$OACP$的面积.

答案：
解：
(1) 设抛物线的解析式为 $ y = a(x + 1)^2 + 4 $。
将点 $ P(0,3) $ 代入，得 $ (0 + 1)^2a + 4 = 3 $，
$ \therefore a = -1 $。
$ \therefore y = -(x + 1)^2 + 4 = -x^2 - 2x + 3 $。
(2) 当 $ y = 0 $ 时，$ -x^2 - 2x + 3 = 0 $，
解得 $ x_1 = -3 $，$ x_2 = 1 $，
$ \therefore $ 抛物线与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ A(-3,0) $，$ B(1,0) $。
(3) 如图，过点 $ C $ 作 $ CD \perp x $ 轴于点 $ D $，
$ S_{四边形OACP} = S_{梯形ODCP} + S_{\triangle ACD} $
$ = \frac{1}{2} \times (3 + 4) \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = \frac{15}{2} $。

5. 抛物线$y=-x^{2}+2x+3$的图象如图所示.已知$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$.
(1)连接$AC$，$BC$，$S_{△ABC}=$6；
(2)抛物线上存在点$C'$(不与点$C$重合)使$S_{△ABC'}=S_{△ABC}$，求点$C'$的坐标.
点$C'$的坐标为$(2,3)$或$(1+\sqrt{7},-3)$或$(1-\sqrt{7},-3)$

答案： 解：
(1) 6
(2) 设点 $ C' $ 的纵坐标为 $ y $。
$ \because S_{\triangle ABC'} = S_{\triangle ABC} $，$ C(0,3) $，
$ \therefore |y| = 3 $。
当 $ y = 3 $ 时，$ 3 = -x^2 + 2x + 3 $，
$ \therefore x_1 = 0 $，$ C'_1(0,3) $（舍去）；$ x_2 = 2 $，$ C'_2(2,3) $。
当 $ y = -3 $ 时，$ -3 = -x^2 + 2x + 3 $，
$ \therefore x_3 = 1 + \sqrt{7} $，$ C'_3(1 + \sqrt{7}, -3) $；$ x_4 = 1 - \sqrt{7} $，$ C'_4(1 - \sqrt{7}, -3) $。
综上所述，点 $ C' $ 的坐标为 $ (2,3) $ 或 $ (1 + \sqrt{7}, -3) $ 或 $ (1 - \sqrt{7}, -3) $。

6. 如图，抛物线$y=\frac{1}{4}(x-2)^{2}-1$过原点，顶点为点$B$，与$x$轴的另一交点为$A$.
(1)点$A$的坐标为$(4,0)$；
(2)若点$C$在抛物线上且$S_{△OAC}=2S_{△OAB}$，求点$C$的坐标.$(2 + 2\sqrt{3},2)$或$(2 - 2\sqrt{3},2)$

答案： 解：
(1) $ (4,0) $
(2) 令点 $ C $ 的纵坐标为 $ y $，
则 $ S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2} \times 4|y| = 2|y| $。
又 $ \because S_{\triangle OAC} = 2S_{\triangle OAB} = 2 \times \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 4 $，
$ \therefore 2|y| = 4 $。$ \therefore y = \pm 2 $。
$ \because y \geq -1 $，$ \therefore y = 2 $。
当 $ y = 2 $ 时，$ \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 1 = 2 $，
解得 $ x_1 = 2 + 2\sqrt{3} $，$ x_2 = 2 - 2\sqrt{3} $，
$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ (2 + 2\sqrt{3},2) $ 或 $ (2 - 2\sqrt{3},2) $。