《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 探究两根和、两根积与$a$，$b$，$c$的关系：
(1)$x_{1}+x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=$$-\frac{b}{a}$；
(2)$x_{1}x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=$$\frac{c}{a}$。

答案：
(1) $-\frac{b}{a}$
(2) $\frac{c}{a}$

该关系使用的前提条件是$\Delta \geq 0$。

答案： $\Delta \geq 0$

2. 例如：$x^{2}+3x+2=0$。
$a=$1，$b=$3，$c=$2；
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=$-3；$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}=$2。

答案： 1 3 2 -3 2

3. (2024·揭阳期中)若$x_{1}$，$x_{2}$是方程$x^{2}-2x-1=0$的两根，则$x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}$的值为 (C)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： C

4. 已知$m$，$n$是一元二次方程$x^{2}+x-2025=0$的两个实数根，则代数式$m^{2}+2m+n$的值等于 (D)
A. 2021
B. 2022
C. 2023
D. 2024

答案： D

5. 例 若$x_{1}$，$x_{2}$是方程$2x^{2}+6x-8=0$的两个根，求下列各式的值：(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；(2)$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$。

答案： 解: $a = 2$, $b = 6$, $c = -8$,
$x_1 + x_2 = -\frac{6}{2} = -3$,
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-8}{2} = -4$.
(1) $x_1^2 + x_2^2$
$= (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
$= (-3)^2 - 2 \times (-4) = 17$.
(2) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{-3}{-4}$
$= \frac{3}{4}$.

6. 若$x_{1}$，$x_{2}$是方程$2x^{2}-4x-6=0$的两个根，求下列各式的值：(1)$(x_{1}-3)(x_{2}-3)$；(2)$(x_{1}-x_{2})^{2}$。

答案： 解: $a = 2$, $b = -4$, $c = -6$,
$x_1 + x_2 = -\frac{-4}{2} = 2$,
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-6}{2} = -3$.
(1) $(x_1 - 3)(x_2 - 3)$
$= x_1x_2 - 3(x_1 + x_2) + 9$
$= -3 - 3 \times 2 + 9 = 0$.
(2) $(x_1 - x_2)^2$
$= (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$
$= 2^2 - 4 \times (-3) = 16$.

7. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x-2m+5=0$有两个实数根。
(1)求实数$m$的取值范围；$m \geq \frac{1}{2}$
(2)若$x_{1}$，$x_{2}$是该方程的两个根，且满足$x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}=m^{2}+6$，求$m$的值。1

答案： 解:
(1) $\because x^2 - 4x - 2m + 5 = 0$ 有两个实数根,
$\therefore \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-2m + 5)$
$\geq 0$.
$\therefore m \geq \frac{1}{2}$.
(2) $\because x_1$, $x_2$ 是该方程的两个根,
$\therefore x_1 + x_2 = 4$, $x_1x_2 = -2m + 5$.
$\because x_1x_2 + x_1 + x_2 = m^2 + 6$,
$\therefore -2m + 5 + 4 = m^2 + 6$.
$\therefore m_1 = -3$, $m_2 = 1$.
$\because m \geq \frac{1}{2}$, $\therefore m = 1$.