《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. 例 (2024·肇庆校级期中)已知二次函数的图象经过点$A(-1,0)$，$B(0,-2)$，$C(4,0)$，求二次函数的解析式.

答案： 解:设二次函数的解析式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
把$A(-1,0)$，$B(0,-2)$，$C(4,0)$代入，得
$\begin{cases}a - b + c = 0,\\c = - 2,\\16a + 4b + c = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=-\frac{3}{2},\\c=-2.\end{cases}$
∴二次函数的解析式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 2$。

2. (2024·佛山一模节选)已知二次函数$y=x^{2}+bx+c$($b$，$c$为常数)的图象与$x$轴相交于$A$，$B$两点.若$A$，$B$两点的坐标分别是$(-1,0)$，$(6,0)$，求该二次函数的表达式.

答案： 解:把$A(-1,0)$，$B(6,0)$代入$y = x^{2}+bx + c$，
得$\begin{cases}1 - b + c = 0,\\36 + 6b + c = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=-5,\\c=-6.\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y = x^{2}-5x - 6$。

3. 例 已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式.

解:由图象知,二次函数的图象过$(0,3)$，$(-1,0)$，$(3,0)$三点,设其解析式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
将三个点的坐标代入,得
$\begin{cases}c = 3,\\a - b + c = 0,\\9a + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3,\end{cases}$
∴所求函数的解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。

答案： 解:由图象知,二次函数的图象过$(0,3)$，$(-1,0)$，$(3,0)$三点,设其解析式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
将三个点的坐标代入,得
$\begin{cases}c = 3,\\a - b + c = 0,\\9a + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=2,\\c=3,\end{cases}$
∴所求函数的解析式为$y=-x^{2}+2x + 3$。

4. 已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式.

解:由图象知,二次函数的图象过$(0,0)$，$(2,0)$，$(1,-1)$，设解析式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
将三个点的坐标代入,得
$\begin{cases}c = 0,\\4a + 2b + c = 0,\\a + b + c = - 1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1,\\b=-2,\\c = 0,\end{cases}$
∴这个二次函数的解析式为$y = x^{2}-2x$。

答案： 解:由图象知,二次函数的图象过$(0,0)$，$(2,0)$，$(1,-1)$，设解析式为$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$。
将三个点的坐标代入,得
$\begin{cases}c = 0,\\4a + 2b + c = 0,\\a + b + c = - 1,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 1,\\b=-2,\\c = 0,\end{cases}$
∴这个二次函数的解析式为$y = x^{2}-2x$。

5. 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=ax^{2}+bx+4$经过点$B(2,4)$与点$C(-1,7)$，则该抛物线的解析式为$y = x^{2}-2x + 4$.

答案： $y = x^{2}-2x + 4$

6. (2024·珠海模拟改编)二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$图象上部分点的坐标$(x,y)$的对应值列表如下：
| $x$ | $\cdots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $\cdots$ |
| $y$ | $\cdots$ | $-3$ | $-2$ | $-3$ | $-6$ | $-11$ | $\cdots$ |
(1)当$x=-5$时，$y=$$-11$；
(2)二次函数的表达式为$y=-(x + 2)^{2}-2$.

答案：
(1)$-11$
(2)$y=-(x + 2)^{2}-2$

课堂总结：
已知三点坐标求抛物线解析式的方法：
①设$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$；②代入三点坐标列出方程组；③解出$a$，$b$，$c$，写出解析式.

答案： 【解析】：这是对已知三点坐标求抛物线解析式方法的总结。首先设抛物线的一般式$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，因为抛物线的一般式中有$a$、$b$、$c$三个未知系数，所以需要三个独立的条件来确定它们的值。而已知的三点坐标就可以提供这三个条件，将三点的横、纵坐标分别代入所设的抛物线解析式中，就可以得到一个关于$a$、$b$、$c$的三元一次方程组。最后通过解这个方程组，求出$a$、$b$、$c$的值，再把$a$、$b$、$c$的值代回到所设的解析式中，就得到了经过这三点的抛物线的具体解析式。
【答案】：①设$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$；②代入三点坐标列出方程组；③解出$a$，$b$，$c$，写出解析式.