《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1.【利用相似测量旗杆高度】(BS 九上 P103 改编)某校项目式学习小组开展项目活动,过程如下:
【项目主题】测量旗杆的高度.
【问题驱动】能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度?
【组内探究】由于旗杆较高,需要借助一些工具来测量,比如自制的直角三角形硬纸板、标杆、镜子,甚至还可以利用无人机……确定方法后,先画出测量示意图,然后实地进行测量,并得到具体数据,从而计算旗杆的高度.
| |方案一|方案二|
|--|--|--|
|测量工具|标杆、皮尺|自制直角三角形硬纸板 $ CEF $、皮尺|
|测量示意图|图 1 说明:线段 $ AB $ 表示学校旗杆,小明的眼睛到地面的距离 $ CD = 1.7m $,测点 $ F $ 与点 $ B $, $ D $ 在同一水平直线上,点 $ D $, $ F $, $ B $ 之间的距离都可以直接测得,且点 $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $ 都在同一竖直平面内, $ A $, $ C $, $ E $ 三点在同一直线上, $ EF \perp BD $|图 2 说明:线段 $ AB $ 表示旗杆,小明的眼睛到地面的距离 $ CD = 1.7m $,点 $ D $ 与点 $ B $ 在同一水平直线上,点 $ D $, $ B $ 之间的距离可以直接测得,且点 $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $, $ F $, $ G $ 都在同一竖直平面内, $ A $, $ E $, $ C $ 三点在同一直线上, $ C $, $ F $, $ G $ 三点在同一直线上|
|测量数据|点 $ B $, $ D $ 之间的距离 $ 16.8m $|点 $ B $, $ D $ 之间的距离 $ 16.8m $|
| |点 $ D $, $ F $ 之间的距离 $ 1.35m $| $ EF $ 的长度 $ 0.50m $|
| | $ EF $ 的长度 $ 2.60m $| $ CE $ 的长度 $ 0.75m $|
根据上述方案及数据,请你选择其中一个方案,求出旗杆 $ AB $ 的高度.
![img alt=图1]
![img alt=图2]
解:方案一:如图 1,过点 C 作 $ CH // BD $ 交 $ EF $ 于点 $ Q $,交 $ AB $ 于点 $ H $,
![img alt=图1]
易证四边形 $ CDFQ $、四边形 $ CDBH $ 都是矩形,
$ \therefore CQ = DF = 1.35m $,
$ CH = BD = 16.8m $, $ QF // HB $.
$ \therefore EQ // AH $.
$ \therefore \triangle CEQ \sim \triangle CAH $.
$ \therefore \frac{CQ}{CH} = \frac{EQ}{AH} $,
即 $ \frac{1.35}{16.8} = \frac{2.6 - 1.7}{AB - 1.7} $,
解得 $ AB = $12.9.
$ \therefore $ 旗杆 $ AB $ 的高度为12.9m.
方案二:依题意,得 $ \angle ACG = \angle FCE $,
$ \angle CGA = \angle CEF = 90^{\circ} $.
$ \therefore \triangle CEF \sim \triangle CGA $.
$ \therefore \frac{CE}{CG} = \frac{EF}{AG} $,
即 $ \frac{0.75}{16.8} = \frac{0.5}{AB - 1.7} $,
解得 $ AB = $12.9.
$ \therefore $ 旗杆 $ AB $ 的高度为12.9m.

答案： 解:方案一:如图 1,过点 C 作 $ CH // BD $ 交 $ EF $ 于点 $ Q $,交 $ AB $ 于点 $ H $,
![img alt=图1]
易证四边形 $ CDFQ $、四边形 $ CDBH $ 都是矩形,
$ \therefore CQ = DF = 1.35m $,
$ CH = BD = 16.8m $, $ QF // HB $.
$ \therefore EQ // AH $.
$ \therefore \triangle CEQ \sim \triangle CAH $.
$ \therefore \frac{CQ}{CH} = \frac{EQ}{AH} $,
即 $ \frac{1.35}{16.8} = \frac{2.6 - 1.7}{AB - 1.7} $,
解得 $ AB = 12.9 $.
$ \therefore $ 旗杆 $ AB $ 的高度为 $ 12.9m $.
方案二:依题意,得 $ \angle ACG = \angle FCE $,
$ \angle CGA = \angle CEF = 90^{\circ} $.
$ \therefore \triangle CEF \sim \triangle CGA $.
$ \therefore \frac{CE}{CG} = \frac{EF}{AG} $,
即 $ \frac{0.75}{16.8} = \frac{0.5}{AB - 1.7} $,
解得 $ AB = 12.9 $.
$ \therefore $ 旗杆 $ AB $ 的高度为 $ 12.9m $.