《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

8. (2024·深圳模拟)解方程:$2x^{2}+4x-11=0$.
解：$ \because a = 2 $，$ b = 4 $，$ c = -11 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = 4^{2}-4×2×(-11) $
$ = 104＞0 $，
$ \therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ = \frac{-4\pm\sqrt{104}}{2×2} $
$ = \frac{-2\pm\sqrt{26}}{2} $。
$ \therefore x_{1}=$$\frac{-2+\sqrt{26}}{2}$，
$ x_{2}=$$\frac{-2-\sqrt{26}}{2}$。
9. (2024·嘉定区期中)解方程:$x^{2}=2\sqrt {2}x+3$.
解：方程化为 $ x^{2}-2\sqrt{2}x - 3 = 0 $。
$ \because a = 1 $，$ b = -2\sqrt{2} $，$ c = -3 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-2\sqrt{2})^{2}-4×1×(-3) $
$ = 20＞0 $，
$ \therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ = \frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{20}}{2×1}=\sqrt{2}\pm\sqrt{5} $。
$ \therefore x_{1}=$$\sqrt{2}+\sqrt{5}$，$ x_{2}=$$\sqrt{2}-\sqrt{5}$。

答案： 8. 解：$ \because a = 2 $，$ b = 4 $，$ c = -11 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = 4^{2}-4\times2\times(-11) $
$ = 104＞0 $，
$ \therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ = \frac{-4\pm\sqrt{104}}{2\times2} $
$ = \frac{-2\pm\sqrt{26}}{2} $。
$ \therefore x_{1}=\frac{-2+\sqrt{26}}{2} $，
$ x_{2}=\frac{-2-\sqrt{26}}{2} $。
9. 解：方程化为 $ x^{2}-2\sqrt{2}x - 3 = 0 $。
$ \because a = 1 $，$ b = -2\sqrt{2} $，$ c = -3 $，
$ \Delta = b^{2}-4ac $
$ = (-2\sqrt{2})^{2}-4\times1\times(-3) $
$ = 20＞0 $，
$ \therefore x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $
$ = \frac{2\sqrt{2}\pm\sqrt{20}}{2\times1}=\sqrt{2}\pm\sqrt{5} $。
$ \therefore x_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{5} $，$ x_{2}=\sqrt{2}-\sqrt{5} $。

10. 方程$x^{2}+x-1=0$的根是 (D)
A. $1-\sqrt {5}$
B. $\frac {1-\sqrt {5}}{2}$
C. $-1+\sqrt {5}$
D. $\frac {-1\pm \sqrt {5}}{2}$

答案： D

11. 用公式法解一元二次方程,得$x=\frac {-5\pm \sqrt {5^{2}-4×3×1}}{2×3}$,则该一元二次方程是$ 3x^{2}+5x + 1 = 0 $.

答案： $ 3x^{2}+5x + 1 = 0 $

12. (BS九上P57改编)阅读材料:
为了解方程$(x^{2}-1)^{2}-5(x^{2}-1)+4=0$,我们可以将$x^{2}-1$看作一个整体,然后设$x^{2}-1=y$,那么原方程可化为$y^{2}-5y+4=0$(①),解得$y_{1}=1,y_{2}=4$.当$y=1$时,$x^{2}-1=1$,所以$x^{2}=2,x=\pm \sqrt {2}$;当$y=4$时,$x^{2}-1=4$,所以$x^{2}=5,x=\pm \sqrt {5}$.故原方程的解为$x_{1}=\sqrt {2},x_{2}=-\sqrt {2},x_{3}=\sqrt {5},x_{4}=-\sqrt {5}$.
(1)上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想;
(2)请利用以上知识解方程$(x^{2}+x)^{2}+(x^{2}+x)-6=0$.
解：设 $ x^{2}+x = y $，则原方程可化为$ y^{2}+y - 6 = 0 $，解得 $ y_{1}=-3 $，$ y_{2}=2 $。当 $ y = -3 $ 时，$ x^{2}+x = -3 $，即 $ x^{2}+x + 3 = 0 $，$ \because \Delta = b^{2}-4ac = 1 - 4×1×3 = -11＜0 $，$ \therefore x^{2}+x + 3 = 0 $ 无实数根。当 $ y = 2 $ 时，$ x^{2}+x = 2 $，即 $ x^{2}+x - 2 = 0 $，解得 $ x_{1}=-2 $，$ x_{2}=1 $。$ \therefore $ 原方程的解为 $ x_{1}=-2 $，$ x_{2}=1 $。

答案： 解：（1）换元
（2）设 $ x^{2}+x = y $，则原方程可化为
$ y^{2}+y - 6 = 0 $，
解得 $ y_{1}=-3 $，$ y_{2}=2 $。
当 $ y = -3 $ 时，$ x^{2}+x = -3 $，
即 $ x^{2}+x + 3 = 0 $，
$ \because \Delta = b^{2}-4ac = 1 - 4\times1\times3 $
$ = -11＜0 $，
$ \therefore x^{2}+x + 3 = 0 $ 无实数根。
当 $ y = 2 $ 时，$ x^{2}+x = 2 $，
即 $ x^{2}+x - 2 = 0 $，
解得 $ x_{1}=-2 $，$ x_{2}=1 $。
$ \therefore $ 原方程的解为 $ x_{1}=-2 $，
$ x_{2}=1 $。