《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

(1)正方形既是矩形又是菱形,它具有矩形、菱形的所有性质;
(2)正方形的四边都相等,四角都是直角,对角线相等且互相垂直平分,且对角线平分每一组对角
∵四边形ABCD是正方形,
∴(边)$AB = BC = CD = AD$，$AB // CD$，$AD // BC$;
(角)$\angle BAD = \angle ABC = \angle BCD = \angle ADC = 90^{\circ}$;
(对角线)$AC = BD$，$AC \perp BD$，$AO = CO$，$BO = DO$，$\angle BAC = \angle DAC = \angle ADB = \angle BDC = \angle ACD = \angle ACB = \angle CBD = \angle ABD$

答案： 相等 直角 相等且互相垂直平分 对角
$AB = BC = CD = AD$，$AB // CD$，$AD // BC$
$\angle BAD = \angle ABC = \angle BCD = \angle ADC = 90^{\circ}$
$AC = BD$，$AC \perp BD$，$AO = CO$，$BO = DO$，$\angle BAC = \angle DAC = \angle ADB = \angle BDC = \angle ACD = \angle ACB = \angle CBD = \angle ABD$

1. 例 如图,正方形ABCD的对角线相交于点O.
(1)若周长为4,则对角线长为$\sqrt{2}$,面积为1;
(2)图中共有8个等腰直角三角形.

答案：
(1)$\sqrt{2}$ 1
(2)8

2. (2024·深圳月考)如图,正方形ABCD的边长为1,E,F是对角线AC上的两点,$EG⊥AB,EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD$,垂足分别为G,I,H,J,则图中阴影部分的面积为(A)


A. $\frac {1}{2}$
B. $\frac {1}{3}$
C. $\frac {1}{4}$
D. $\frac {1}{5}$

答案： A

3. 例 如图,在正方形ABCD中,已知AE,DF相交于点O,$BE=AF$.求证:
(1)$DF=AE$;
(2)$DF⊥AE$.
证明：(1)$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB = DA$，
$\angle B = \angle DAF = 90^{\circ}$。
在$\triangle DAF$和$\triangle ABE$中，
$\left\{\begin{array}{l} AF = BE, \\ \angle DAF = \angle B, \\ DA = AB, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle DAF \cong \triangle ABE$(SAS)。
$\therefore DF = AE$。
(2) 由(1)得$\triangle DAF \cong \triangle ABE$，
$\therefore \angle DFA = \angle AEB$。
$\therefore \angle DFA + \angle EAB = \angle AEB + \angle EAB = 90^{\circ}$，
即$DF \perp AE$。

答案： 证明：
(1)$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore AB = DA$，
$\angle B = \angle DAF = 90^{\circ}$。
在$\triangle DAF$和$\triangle ABE$中，
$\left\{\begin{array}{l} AF = BE, \\ \angle DAF = \angle B, \\ DA = AB, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle DAF \cong \triangle ABE(SAS)$。
$\therefore DF = AE$。
(2) 由
(1)得$\triangle DAF \cong \triangle ABE$，
$\therefore \angle DFA = \angle AEB$。
$\therefore \angle DFA + \angle EAB = \angle AEB + \angle EAB = 90^{\circ}$，
即$DF \perp AE$。

4. (BS九上P22改编)如图,四边形ABCD是正方形,$△EBC$是等边三角形.
(1)求证:$△ABE\cong △DCE$;
证明：$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\triangle EBC$是等边三角形，
$\therefore BA = BC = CD = BE = CE$，
$\angle ABC = \angle BCD = 90^{\circ}$，
$\angle EBC = \angle ECB = 60^{\circ}$。
$\therefore \angle ABE = \angle ECD = 30^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DCE$中，
$\left\{\begin{array}{l} AB = DC, \\ \angle ABE = \angle DCE, \\ BE = CE, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DCE$(SAS)。
(2)求$∠AED$的度数.
解：$\because BA = BE$，$\angle ABE = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 30^{\circ}) = 75^{\circ}$。
$\because \angle BAD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAD = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$。
同理可得$\angle ADE = 15^{\circ}$，
$\therefore \angle AED = 180^{\circ} - 15^{\circ} - 15^{\circ} =$150°。

答案：
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\triangle EBC$是等边三角形，
$\therefore BA = BC = CD = BE = CE$，
$\angle ABC = \angle BCD = 90^{\circ}$，
$\angle EBC = \angle ECB = 60^{\circ}$。
$\therefore \angle ABE = \angle ECD = 30^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DCE$中，
$\left\{\begin{array}{l} AB = DC, \\ \angle ABE = \angle DCE, \\ BE = CE, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DCE(SAS)$。
(2) 解：$\because BA = BE$，$\angle ABE = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 30^{\circ}) = 75^{\circ}$。
$\because \angle BAD = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAD = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$。
同理可得$\angle ADE = 15^{\circ}$，
$\therefore \angle AED = 180^{\circ} - 15^{\circ} - 15^{\circ} = 150^{\circ}$。

5. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是(B)
A. 对角线相等
B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直
D. 对角线互相垂直且相等

答案： B

6. (2024·梅州一模)如图,在正方形ABCD中,$CE=DF$,AE,BF相交于点O,则下列结论中:①$AE=BF$;②$AE⊥BF$;③$AO=OE$;④$∠AED=∠FBC$,正确的有(C)

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C