《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. [方位角]如图，
(1)点A在O的北偏东$60^{\circ }$方向上；
(2)点B在O的南偏东$45^{\circ }$(或东南)方向上；
(3)点C在O的南偏西$30^{\circ }$方向上.

答案：
(1)北偏东$60^{\circ }$
(2)南偏东$45^{\circ }$(或东南)
(3)南偏西$30^{\circ }$

2. 如图，轮船从位于灯塔P的北偏东65°方向上距离灯塔100海里的A处，沿正南方向航行到B处，此时，B处位于灯塔南偏东30°方向上，求BP的长.(结果精确到1海里，参考数据：$\sin 65^{\circ} \approx 0.90$，$\cos 65^{\circ} \approx 0.42$)

解:依题意,得
$∠PAC=65^{\circ },AP=100$海里,
$\therefore sin∠PAC=\frac {PC}{PA}=\frac {PC}{100}\approx 0.9$.
$\therefore PC=$90海里.
又$\because ∠PBC=30^{\circ },$
$\therefore BP=2PC=2×90=$180(海里).
答:BP的长为180海里.

答案： 解:依题意,得
$∠PAC=65^{\circ },AP=100$海里,
$\therefore sin∠PAC=\frac {PC}{PA}=\frac {PC}{100}\approx 0.9$.
$\therefore PC=90$海里.
又$\because ∠PBC=30^{\circ },$
$\therefore BP=2PC=2×90=180$(海里).
答:BP的长为180海里.

3. 如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上.轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上.当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离.(结果保留根号)

解:$\because ∠CAB=30^{\circ },∠CBD=60^{\circ },$
$\therefore ∠ACB=∠CBD-∠CAB=30^{\circ }.$
$\therefore ∠CAB=∠ACB.$
$\therefore AB=BC.$
又$\because AB=20×2=40$(海里),
$\therefore BC=40$海里.
在$Rt△BCD$中,
$sin∠CBD=\frac {CD}{CB}=\frac {CD}{40}=\frac {\sqrt {3}}{2}$,
$\therefore CD=$$20\sqrt {3}$(海里).
答:此时轮船与灯塔C的距离为$20\sqrt {3}$海里.

答案： 解:$\because ∠CAB=30^{\circ },∠CBD=60^{\circ },$
$\therefore ∠ACB=∠CBD-∠CAB=30^{\circ }$.
$\therefore ∠CAB=∠ACB$.
$\therefore AB=BC$.
又$\because AB=20×2=40$(海里),
$\therefore BC=40$海里.
在$Rt△BCD$中,
$sin∠CBD=\frac {CD}{CB}=\frac {CD}{40}=\frac {\sqrt {3}}{2}$,
$\therefore CD=20\sqrt {3}$(海里).
答:此时轮船与灯塔C的距离为$20\sqrt {3}$海里.

4. 我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区(如图)，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$)

答案：
解:不需要.
如图,过点P作$PA⊥MN$于点A,

设$PA=x$千米,
易得$MA=PA=x$千米,
$AN=(2-x)$千米.
在$Rt△ANP$中,$∠APN=60^{\circ },$
$\therefore tan∠APN=\frac {AN}{PA}$.
$\therefore \frac {2-x}{x}=\sqrt {3}$.
$\therefore x=\sqrt {3}-1\approx 0.73$.
$\because PA=0.73＞0.6$,
$\therefore$ 不需要搬迁.

5. 如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛D在北偏东60°方向上，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛D在北偏东45°方向上，船继续航行到点C时，测得小岛D恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离.

解:设DC的长度为x海里.依题意,得
∠DBC=90°-45°=45°,
∴BC=DC=x.
在Rt△ACD中,
∠DAC=90°-60°=30°,
∴tan∠DAC=DC/AC=√3/3.
∴AC=√3x.
∵AB=AC-BC=√3x-x=10,
∴x=5(√3+1).
答:此时船到小岛的距离为5(√3+1)海里.

答案： 解:设DC的长度为x海里.依题意,得
$∠DBC=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$,
$\therefore BC=DC=x$.
在$Rt△ACD$中,
$∠DAC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$,
$\therefore tan∠DAC=\frac {DC}{AC}=\frac {\sqrt {3}}{3}$.
$\therefore AC=\sqrt {3}x$.
$\because AB=AC-BC=\sqrt {3}x-x=10$,
$\therefore x=5(\sqrt {3}+1)$.
答:此时船到小岛的距离为$5(\sqrt {3}+1)$海里.