《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

13. (BS 九上 P58)如图,一次函数 $ y = - 2 x + 3 $ 的图象交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,点 P 在线段 AB 上(不与点 A,B 重合),过点 P 分别作 OA 和 OB 的垂线,垂足为 C,D. 点 P 在何处时,矩形 OCPD 的面积为 1?

当点P的坐标为$ (1, 1) $或$ (\frac{1}{2}, 2) $时，矩形OCPD的面积为1。

答案： 解：
∵点P在一次函数 $ y = -2x + 3 $ 的图象上，
∴设点P的坐标为 $ (a, -2a + 3)(a ＞ 0) $。
依题意，得 $ a \cdot (-2a + 3) = 1 $，
整理得 $ 2a^2 - 3a + 1 = 0 $，
解得 $ a_1 = 1 $，$ a_2 = \frac{1}{2} $，
∴ $ -2a + 3 = 1 $ 或 $ -2a + 3 = 2 $。
综上所述，当点P的坐标为 $ (1, 1) $ 或 $ (\frac{1}{2}, 2) $ 时，矩形OCPD的面积为1。

14. 如图,要设计一幅宽 20 cm、长 30 cm 的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为 2:3. 如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?

应设计每个横彩条的宽度为$\frac{5}{3}$ cm，每个竖彩条的宽度为$\frac{5}{2}$ cm。

答案： 解：设横、竖彩条的宽度分别为 $ 2x \, \text{cm} $，$ 3x \, \text{cm} $。
依题意，得 $ (20 - 6x)(30 - 4x) = 20 \times 30 \times (1 - \frac{1}{3}) $，
解得 $ x_1 = \frac{5}{6} $，$ x_2 = 10 $。
当 $ x = \frac{5}{6} $ 时，横彩条宽度为 $ \frac{5}{6} \times 2 = \frac{5}{3} (\text{cm}) $，竖彩条宽度为 $ \frac{5}{6} \times 3 = \frac{5}{2} (\text{cm}) $。
当 $ x = 10 $ 时，$ 10 \times 2 = 20 $，不符合题意，舍去。
∴应设计每个横彩条的宽度为 $ \frac{5}{3} \, \text{cm} $，每个竖彩条的宽度为 $ \frac{5}{2} \, \text{cm} $。

15. (2024·南海区月考)2023 年杭州亚运会吉祥物一开售,就深受大家的喜爱,某商店以每件 35 元的价格购进某款亚运会吉祥物,以每件 58 元的价格出售,经统计,4 月份的销售量为 256 件,6 月份的销售量为 400 件.
(1)设该款吉祥物 4 月份到 6 月份销售量的月平均增长率为 x,依题意,可列方程为$256(1+x)^2=400$;
(2)从 7 月份起,商场采用降价促销的方式回馈顾客,经试验,发现该吉祥物每降价 1 元,月销售量就会增加 20 件. 当该吉祥物每件的售价为多少元时,月销售利润为 8 400 元?
解：设该吉祥物每件售价为 y 元，则每件的销售利润为 (y - 35) 元，月销售量为 400 + 20(58 - y) = (1560 - 20y) (件)。
依题意，得 (y - 35)(1560 - 20y) = 8400，
解得 y₁=50，y₂=63 (不合题意，舍去)。
答：当该吉祥物每件的售价为50元时，月销售利润为8400元。

答案： 解：
(1) $ 256(1 + x)^2 = 400 $
(2) 设该吉祥物每件售价为 $ y $ 元，则每件的销售利润为 $ (y - 35) $ 元，月销售量为 $ 400 + 20(58 - y) = (1560 - 20y) $ (件)。
依题意，得 $ (y - 35)(1560 - 20y) = 8400 $，
解得 $ y_1 = 50 $，$ y_2 = 63 $ (不合题意，舍去)。
答：当该吉祥物每件的售价为50元时，月销售利润为8400元。

16. (2024·光明区月考)某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品,在商场试销发现:销售价格 x(元/件)与每天销售量 y(件)之间满足如图所示的关系.
(1)求出 y 与 x 之间的函数关系式.$ y = -x + 180 $
(2)如果商店销售这种商品每天获得 1 500 元利润,那么每件商品的销售价定为多少元?130元或150元

答案： 解：
(1) 由图象可知，$ y $ 与 $ x $ 之间满足一次函数的关系，
设 $ y = kx + b(k \neq 0) $。
把 $ (130, 50) $，$ (150, 30) $ 代入，得 $ \begin{cases} 130k + b = 50 \\ 150k + b = 30 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -1 \\ b = 180 \end{cases} $。
∴ $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = -x + 180 $。
(2) 依题意，得 $ (x - 100)(-x + 180) = 1500 $，
解得 $ x = 130 $ 或 $ x = 150 $。
答：每件商品的销售价定为130元或150元。