《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

4. (RJ 九上 P17 改编)(1)求证:无论 p 取何值,方程$(x-3)(x-2)-p^{2}=0$总有两个不相等的实数根;
(2)当$p=\sqrt {6}$时,求(1)中方程的根.

答案：
(1) 证明：
$\because (x - 3)(x - 2)-p^{2} = 0$，
$\therefore x^{2}-5x + 6 - p^{2} = 0$。
$\because \Delta = (-5)^{2}-4(6 - p^{2})$
$= 25 - 24 + 4p^{2}$
$= 4p^{2} + 1 ＞ 0$恒成立。
$\therefore$ 无论$p$取何值，方程
$(x - 3)(x - 2)-p^{2} = 0$总有两个不相等的实数根。
(2) 解：当$p = \sqrt{6}$时，
方程为$x^{2}-5x + 6 - 6 = 0$，
即$x^{2}-5x = 0$，
$\therefore x(x - 5) = 0$。
$\therefore x_{1} = 0$，$x_{2} = 5$。

5. (RJ 九上 P22)一个菱形两条对角线长的和是 10 cm,面积是$12cm^{2}$,求菱形的周长.

答案： 解：设菱形其中一条对角线长为$x\ cm$，则另一条对角线长为$(10 - x)\ cm$。
依题意，得$\frac{1}{2}x(10 - x) = 12$，
解得$x_{1} = 4$，$x_{2} = 6$。
$\therefore$ 菱形的对角线一条长为$4\ cm$，另一条长为$6\ cm$。
$\because$ 菱形的对角线相互垂直且平分，
$\therefore$ 菱形的边长为
$\sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}(cm)$。
$\therefore$ 菱形的周长为
$\sqrt{13}×4 = 4\sqrt{13}(cm)$。

6. (BS 九上 P31)如图,一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m,那么梯子的底端滑动$\sqrt{51}-6$米?

答案： 解：设梯子的底端滑动$x\ m$。
依题意，得滑动前梯子底端离墙
$\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6(m)$，
则$(6 + x)^{2}+(8 - 1)^{2} = 10^{2}$，
解得$x_{1} = \sqrt{51}-6$，
$x_{2} = -\sqrt{51}-6$（不合题意，舍去）。
答：梯子的底端滑动$(\sqrt{51}-6)\ m$。

7. (RJ 九上 P23)如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点.
(1)容易发现,10 是三角点阵中前 4 行的点数的和.你能发现 300 是前多少行的点数的和吗?
(2)三角点阵前n行的点数的和能是 600 吗?如果能,求出n;如果不能,试用一元二次方程说明理由.
(1)24
(2)不能，理由如下：设行数为n，则$\frac{n(1 + n)}{2} = 600$，整理得$n^{2}+n - 1200 = 0$，$\because \Delta = 1 - 4×1×(-1200) = 4801$，$\therefore n = \frac{-1 \pm \sqrt{4801}}{2}$，$\therefore n$为无理数，$\therefore$三角点阵前n行的点数和不能为600。

答案： 解：
(1)$\frac{n(1 + n)}{2} = 300$，
整理得$n^{2}+n - 600 = 0$，
解得$n_{1} = -25$，$n_{2} = 24$，
$\because n$为正整数，$\therefore n = 24$。
$\therefore 300$是前$24$行的点数和。
(2) 三角点阵前$n$行的点数和不能为$600$。理由如下：
设行数为$n$，
则$\frac{n(1 + n)}{2} = 600$，
整理得$n^{2}+n - 1200 = 0$，
$\because \Delta = 1 - 4×1×(-1200) = 4801$，
$\therefore n = \frac{-1 \pm \sqrt{4801}}{2}$。
$\therefore n$为无理数。
$\therefore$ 三角点阵前$n$行的点数和不能为$600$。