《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. (BS 九下 P24,25)计算:
(1)$\sin 45^{\circ}-\cos 60^{\circ}+\tan 60^{\circ}$;
(2)$\cos ^{2} 30^{\circ}+\sin ^{2} 30^{\circ}-\tan 45^{\circ}$;
(3)$\sqrt{1-2 \tan 60^{\circ}+\tan ^{2} 60^{\circ}}-\tan 60^{\circ}$.

答案：
(1) 解: 原式 $= \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } + \sqrt { 3 }$。
(2) 解: 原式 $= ( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } - 1$
$= \frac { 3 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } - 1 = 0$。
(3) 解: 原式
$= \sqrt { 1 - 2 \sqrt { 3 } + ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } - \sqrt { 3 }$
$= | 1 - \sqrt { 3 } | - \sqrt { 3 }$
$= \sqrt { 3 } - 1 - \sqrt { 3 }$
$= - 1$。

2. (BS 九下 P25)在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle B=60^{\circ}$,$A B=4$,求$A C=$$2\sqrt{3}$,$B C=$$2$,$\sin A=$$\frac{1}{2}$和$\cos A=$$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

答案： 解: 在 $Rt \triangle ABC$ 中,
$\sin 60 ^ { \circ } = \frac { A C } { A B } = \frac { A C } { 4 }$,
$\cos 60 ^ { \circ } = \frac { B C } { A B } = \frac { B C } { 4 }$,
$\angle A = 90 ^ { \circ } - 60 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ }$,
$\therefore A C = 4 \sin 60 ^ { \circ }$
$= 4 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } = 2 \sqrt { 3 }$,
$B C = 4 \cos 60 ^ { \circ } = 4 \times \frac { 1 } { 2 } = 2$,
$\sin A = \sin 30 ^ { \circ } = \frac { 1 } { 2 }$,
$\cos A = \cos 30 ^ { \circ } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$。

3. (BS 九下 P24 改编)已知$\angle A$是锐角,$\cos A=\frac{3}{5}$,则$\sin A=$$\frac { 4 } { 5 }$,$\tan A=$$\frac { 4 } { 3 }$.

答案： $\frac { 4 } { 5 }$ $\frac { 4 } { 3 }$

4. (BS 九下 P21 改编)如图,一艘货轮以 36 海里/时的速度在海面上航行,当它行驶到$A$处时,发现它的东北方向有一灯塔$B$.货轮继续向北航行 40 min 后到达$C$处,发现灯塔$B$在它北偏东$75^{\circ}$方向上,则此时货轮与灯塔$B$的距离为____$24 \sqrt { 2 }$海里.(结果保留根号)

答案： $24 \sqrt { 2 }$

5. (BS 九下 P17)在$\mathrm{Rt} \triangle A B C$中,$\angle C=90^{\circ}$,$\angle A, \angle B, \angle C$所对的边分别为$a, b, c$,根据下列条件求出直角三角形的其他元素:
(1)$a=19, c=19 \sqrt{2}$;则$b=$19，$\angle A=$45°，$\angle B=$45°
(2)$a=36, \angle B=30^{\circ}$;则$\angle A=$60°，$b=$12√3，$c=$24√3

答案： 解:
(1) $b = \sqrt { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } }$
$= \sqrt { ( 19 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - 19 ^ { 2 } }$
$= 19$,
$\tan A = \frac { a } { b } = 1$,
$\therefore \angle A = 45 ^ { \circ }$。
$\therefore \angle B = 90 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } = 45 ^ { \circ }$。
(2) $\because \angle C = 90 ^ { \circ }, \angle B = 30 ^ { \circ }$,
$a = 36$,
$\therefore \angle A = 90 ^ { \circ } - \angle B = 60 ^ { \circ }$,
$\frac { a } { c } = \cos B$,
即 $c = \frac { a } { \cos B } = \frac { 36 } { \cos 30 ^ { \circ } } = \frac { 36 } { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } }$
$= 24 \sqrt { 3 }$。
$\therefore b = \frac { 1 } { 2 } c = \frac { 1 } { 2 } \times 24 \sqrt { 3 } = 12 \sqrt { 3 }$。

6. (BS 九下 P10)如图,身高$1.75 \mathrm{~m}$的小丽用一个两锐角分别为$30^{\circ}$和$60^{\circ}$的三角尺测量一棵树的高度$\left(\angle A=30^{\circ}\right)$,已知她与树之间的距离为$5 \mathrm{~m}$,那么这棵树大约有多高?(结果精确到$0.1 \mathrm{~m}$)

答案： 解: 依题意, 得
$A D = B E = 5 \mathrm { ~m }$,
$D E = A B = 1.75 \mathrm { ~m }$,
$\angle C A D = 30 ^ { \circ }, \angle A D C = 90 ^ { \circ }$,
在 $Rt \triangle A C D$ 中,
$\because \tan \angle C A D = \frac { C D } { A D }$,
$\therefore C D = A D · \tan 30 ^ { \circ }$
$= 5 × \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } \approx 5 × \frac { 1.732 } { 3 }$
$\approx 2.89 ( \mathrm { ~m } )$。
$\therefore C E = C D + D E$
$= 2.89 + 1.75$
$\approx 4.6 ( \mathrm { ~m } )$。
答: 这棵树大约高 $4.6 \mathrm { ~m }$。