《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

矩形的判定(1)：有一个角是直角的平行四边形是矩形，几何语言：∵□ABCD,∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定(2)：对角线相等的平行四边形是矩形，几何语言：∵□ABCD,AC=BD，∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定(3)：有三个角是直角的四边形是矩形，几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形

答案： 直角 平行四边
相等 平行四边
三个角 直角 四边
$\square ABCD,\angle BAD=90^{\circ}$
$\square ABCD,AC=BD$
$\angle A=\angle B=\angle C=90^{\circ}$

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，EG//CB，FG//CA. 求证：四边形EGFC是矩形.

答案： 证明：$\because EG// CB,FG// CA,$
$\therefore$ 四边形$EGFC$是平行四边形.
又$\because \angle C=90^{\circ},$
$\therefore$ 四边形$EGFC$是矩形.

2. (BS九上P16改编)如图，在□ABCD中，E为CD的中点，AE=BE. 求证：四边形ABCD是矩形.


证明：$\because E$为$CD$的中点,
$\therefore$ $DE=CE$.
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore$ $AD=BC$,$AD// BC$.
在$\triangle ADE$和$\triangle BCE$中,
$\left\{\begin{array}{l} AD=BC,\\ DE=CE,\\ AE=BE,\end{array}\right.$
$\therefore$ $\triangle ADE\cong \triangle BCE(SSS)$.
$\therefore$ $\angle D=\angle C$.
又$\because AD// BC,$
$\therefore$ $\angle D+\angle C=180^{\circ}$.
$\therefore$ $\angle D=90^{\circ}$.
$\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形.

答案： 证明：$\because E$为$CD$的中点,
$\therefore DE=CE.$
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD=BC,AD// BC.$
在$\triangle ADE$和$\triangle BCE$中,
$\left\{\begin{array}{l} AD=BC,\\ DE=CE,\\ AE=BE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ADE\cong \triangle BCE(SSS).$
$\therefore \angle D=\angle C.$
又$\because AD// BC,$
$\therefore \angle D+\angle C=180^{\circ}.$
$\therefore \angle D=90^{\circ}.$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形.

3. (2024·罗湖区月考)如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2.
(1) 求证：四边形ABCD是矩形；
(2) 若AD=5，∠AOD=60°，则AB=5√3.

答案：
(1) 证明：$\because AB=CD,AD=BC,$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC,OB=\frac{1}{2}BD.$
又$\because \angle 1=\angle 2,\therefore OA=OB.$
$\therefore AC=BD.$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形.
(2)$5\sqrt{3}$

4. (BS九上P15改编)如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且△AOB是等边三角形. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明：
∵△AOB是等边三角形,
∴AO=OB.
又∵在□ABCD中,
OA=$\frac{1}{2}AC$,OB=$\frac{1}{2}BD$,
∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.

答案： 证明：
$\because \triangle AOB$是等边三角形,
$\therefore AO=OB.$
又$\because$ 在$\square ABCD$中,
$OA=\frac{1}{2}AC,OB=\frac{1}{2}BD,$
$\therefore AC=BD.$
$\therefore$ 四边形$ABCD$是矩形.