《2025年零障碍导教导学案九年级数学全一册北师大版》

1. [转化思想](BS 九上 P55 改编)某市 2020 年年底自然保护区覆盖率(即自然保护区面积占全市土地面积的百分比)仅为 4.85%,经过两年努力,该市 2022 年年底自然保护区覆盖率达到 8%. 设该市这两年自然保护区面积的年均增长率为 x,则可列方程为$4.85\%(1 + x)^2 = 8\%$.

答案： $4.85\%(1 + x)^2 = 8\%$

2. [数据分析观念、模型思想、应用意识]某厂家 2022 年 1—5 月份的口罩产量统计如图所示. 设从 2 月份到 4 月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为 x,则根据题意可列方程 (B)

A. $180(1 - x)^{2} = 461$
B. $180(1 + x)^{2} = 461$
C. $368(1 - x)^{2} = 442$
D. $368(1 + x)^{2} = 442$

答案： B

3. [一元二次方程与勾股定理](BS 九上 P43)《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈. 问户高、广各几何?”大意是说:已知长方形门的高比宽多6 尺8 寸,门的对角线长 1 丈,那么门的高和宽各是多少? (注:“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位,其中 1 丈 = 10 尺,1 尺 = 10 寸,1 寸 ≈ 3.33 厘米)
答：门的高是9.6尺，宽是2.8尺。

答案： 解：设长方形门的宽为$x$尺，则高为$(x + 6.8)$尺。依题意，得$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$，解得$x = 2.8$或$x = -9.6$（不合题意，舍去）。则高是$6.8 + 2.8 = 9.6$（尺）。答：门的高是$9.6$尺，宽是$2.8$尺。

4. [换元思想](BS 九上 P57)解方程$(x - 1)^{2} - 5(x - 1) + 4 = 0$时,我们可以将$x - 1$看成一个整体,设$x - 1 = y$,则原方程可化为$y^{2} - 5y + 4 = 0$,解得$y_{1} = 1,y_{2} = 4$. 当$y = 1$时,即$x - 1 = 1$,解得$x = 2$;当$y = 4$时,即$x - 1 = 4$,解得$x = 5$. 所以原方程的解为$x_{1} = 2,x_{2} = 5$. 请利用这种方法解方程:$(3x + 5)^{2} - 4(3x + 5) + 3 = 0$.
解：设$t = 3x + 5$，则原方程可化为$t^2 - 4t + 3 = 0$，即$(t - 1)(t - 3) = 0$，$\therefore t = $1或$t = $3。当$t = 1$时，$3x + 5 = 1$，解得$x = -\frac{4}{3}$；当$t = 3$时，$3x + 5 = 3$，解得$x = -\frac{2}{3}$。综上所述，原方程的解是$x_1 = -\frac{4}{3}$，$x_2 = -\frac{2}{3}$。

答案： 解：设$t = 3x + 5$，则原方程可化为$t^2 - 4t + 3 = 0$，即$(t - 1)(t - 3) = 0$，$\therefore t = 1$或$t = 3$。当$t = 1$时，$3x + 5 = 1$，解得$x = -\frac{4}{3}$；当$t = 3$时，$3x + 5 = 3$，解得$x = -\frac{2}{3}$。综上所述，原方程的解是$x_1 = -\frac{4}{3}$，$x_2 = -\frac{2}{3}$。

5. [韦达定理]已知$2 + \sqrt{3}$是方程$x^{2} - 4x + c = 0$的一个根,求方程的另一个根及 c 的值.

答案： 解：设方程$x^2 - 4x + c = 0$的两实根分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1 + x_2 = 4$，$x_1 \cdot x_2 = c$。设$x_1 = 2 + \sqrt{3}$，则$x_2 = 4 - x_1 = 4 - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3}$，$\therefore c = x_1x_2 = (2 + \sqrt{3}) \times (2 - \sqrt{3}) = 1$。$\therefore$另一个实根是$2 - \sqrt{3}$，$c$的值为$1$。