《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。
在$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$中，如果$\angle A=\angle A'$，$\angle B=\angle B'$，$\angle C=\angle C'$，且$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，我们就说$\triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$相似，记作，就是它们的。
反之，如果$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$，那么有，且==。

答案： $\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$，$k$，相似比，$\angle A = \angle A'$，$\angle B = \angle B'$，$\angle C = \angle C'$，$\frac{AB}{A'B'}$，$\frac{BC}{B'C'}$，$\frac{AC}{A'C'}$。

3. 如果$k = 1$，那么这两个三角形有怎样的关系？
。

答案： 当$k = 1$时，两个三角形的对应边成比例且比例为$1$，即对应边相等。根据全等三角形的定义（能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等三角形的对应边相等、对应角相等），此时这两个三角形全等。
全等

4. 三角形相似的预备定理：
。

答案： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

1. 根据教材第29页图27.2 - 2，通过测量可知$l_3$，$l_4$，$l_5$在$l_1$上截得的两条线段$AB=$________，$BC=$________，在$l_2$上截得的两条线段$DE=$________，$EF=$________，计算得$\frac{AB}{BC}=$________，$\frac{DE}{EF}=$________，发现$\frac{AB}{BC}$________$\frac{DE}{EF}$。

答案： 1.5cm，1cm，3cm，2cm，$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$，等于

2. 改变$l_5$的位置，即任意平移$l_5$，度量$AB$，$BC$，$DE$，$EF$的长度。上述结论还成立吗？
【归纳总结】当$l_3// l_4// l_5$时，都可以得到$\frac{AB}{BC}$________$\frac{DE}{EF}$。

答案： 设平行线$l_3$，$l_4$，$l_5$分别与横截线（假设为一条与这三条平行线相交的直线）交于点$A$，$B$，$C$和点$D$，$E$，$F$。
由于$l_3// l_4 // l_5$，
根据平行线分线段成比例定理，当一条直线与三条平行线相交时，它们将这条直线分成的线段之间的比例是相等的。
即：
$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$
无论$l_5$如何平移，只要保持$l_3 // l_4 // l_5$，上述比例关系依然成立。
【归纳总结】当$l_3 // l_4 // l_5$时，都可以得到$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$。

3. 在教材第29页图27.2 - 2中，还有哪些线段对应成比例？
结论：。
由此得平行线分线段成比例基本事实：。
符号语言：。

答案： 结论：图$27.2 - 2$中的线段$DE$与$BC$，$AD$与$AB$，$AE$与$AC$也对应成比例（答案不唯一，其他合理答案亦可）。
由此得平行线分线段成比例基本事实：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
符号语言：如图，$l_1// l_2// l_3$，直线$a$、$b$与$l_1$、$l_2$、$l_3$分别相交于点$A$、$B$、$C$和点$D$、$E$、$F$，则$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{DF}{EF}$ 。

4. (1)如果教材第29页图27.2 - 2中$l_1$，$l_2$两条直线相交，交点$A$刚好落到$l_3$上，如教材第30页图27.2 - 3(1)，那么所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
(2)如果把教材第29页图27.2 - 2中$l_1$，$l_2$两条直线相交，交点$A$刚好落到$l_4$上，如教材第30页图27.2 - 3(2)，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？
【归纳总结】平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的线段。

答案：
(1)会相等，依据是平行线分线段成比例基本事实的推论（或：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）。
(2)会相等，依据是平行线分线段成比例基本事实的推论（或：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例）。
【归纳总结】对应；成比例

阅读教材第30—31页“思考”的内容，回答下列问题：
如教材第30页图27.2 - 4，在$\triangle ABC$中，$DE// BC$，$DE$分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$。$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似吗？
1. $\triangle ADE$与$\triangle ABC$满足“对应角相等”吗？为什么？
2. $\triangle ADE$与$\triangle ABC$满足“对应边成比例”吗？由“$DE// BC$”的条件可得到哪些线段的比相等？
3. 根据学习的知识如何把$DE$移到$BC$上？（作辅助线$EF// AB$）你能证明$AE:AC = DE:BC$吗？
4. 写出$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$的证明过程。
【归纳总结】平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形。

答案： 答案略
@@答题格式如下：因为 $DE // BC$， 根据平行线分线段成比例定理， 所以 $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$，$\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$。 因此，$\triangle ADE$ 与 $\triangle ABC$ 对应边成比例， 即 $\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$。
@@1. 过点E作EF//AB，交BC于点F，则EF即为DE移到BC上的线段。2. 证明：


∵EF//AB，


∴∠CEF=∠CAB，∠CFE=∠CBA（两直线平行，同位角相等）。


∴△CEF∽△CAB（AA相似判定）。


∴EC/AC=FC/BC（相似三角形对应边成比例）。


∴(AC-AE)/AC=(BC-BF)/BC，即1-AE/AC=1-BF/BC。


∴AE/AC=BF/BC。


∵DE//BC，EF//AB，


∴四边形DEFB是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。


∴DE=BF（平行四边形对边相等）。


∴AE/AC=DE/BC。
@@设$DE$是$\triangle ABC$中平行于$BC$边的一条直线，$D$在$AB$边上，$E$在$AC$边上。由于$DE// BC$，根据平行线的性质，得到：$\angle ADE = \angle ABC$ （同位角）$\angle AED = \angle ACB$ （同位角）由于$\angle ADE = \angle ABC$且$\angle AED = \angle ACB$，并且$\angle A$是$\triangle ADE$和$\triangle ABC$的公共角，所以根据相似三角形的判定定理（如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似），得出：$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$。【归纳总结】平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。