《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 因式分解的方法有几种？

答案： 答题卡：
因式分解的方法主要有以下几种：
提公因式法。
公式法（包括平方差公式、完全平方公式等）。
十字相乘法（对于二次多项式特别有效）。
分组分解法（适用于四项或更多项的多项式）。

2. 把下列各式进行因式分解：
(1) $2x^{2}-12x=$；
(2) $9x^{2}+6x+1=$；
(3) $4x^{2}-9=$；
(4) $x^{2}-5x+6=$；
(5) $3x(x - 1)-2(x - 1)=$；
(6) $x^{2}-8x+16=$.

答案：
(1) $2x(x-6)$
(2) $(3x+1)^2$
(3) $(2x+3)(2x-3)$
(4) $(x-2)(x-3)$
(5) $(x-1)(3x-2)$
(6) $(x-4)^2$

3. 判断对错.
(1)若$a = 0$或$b = 0$，则$ab = 0$.()
(2)若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$.()

答案： （1）对；
（2）对。

4. 自学教材第12，13页的内容，标记你认为重要的内容，并回答下列问题.
(1)问题2中得出的二次方程是怎样降为一次的？
(2)把方程的左边分解因式的前提是什么？
(3)所有的一元二次方程都能用因式分解法求解吗？

答案：
(1)通过因式分解将二次方程化为两个一次因式的乘积等于零的形式，再根据“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”，转化为两个一元一次方程。
(2)方程的右边必须化为0。
(3)不是。

[问题]根据物理学规律，如果把一个物体从地面以$10m/s$的速度竖直上抛，那么经过$x s$物体离地面的高度（单位：$m$）为$10x - 4.9x^{2}=0$.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到$0.01s$）
[思考1]除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程$10x - 4.9x^{2}=0$？
[思考2]解方程$10x - 4.9x^{2}=0$时，二次方程是如何降为一次的？

答案： 解方程$10x - 4.9x^{2}=0$，
提取公因式$x$，得$x(10 - 4.9x)=0$，
则$x=0$或$10 - 4.9x=0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{10}{4.9}\approx2.04$，
因为物体从地面抛出，落回地面时$x＞0$，
所以物体经过约$2.04s$落回地面。
答：物体经过约$2.04$秒落回地面。

【归纳总结】
(1)通过因式分解将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫作因式分解法.
(2)用因式分解法解方程的条件是：方程左边易于分解，而右边必须等于零.关键是熟练掌握因式分解的知识.
(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①将方程右边化为；
②将方程左边分解成两个一次因式的积；
③令每个因式分别为，得两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

答案： ①0
③0

【例1】下列方程的根分别是多少？
(1)$x(x - 2)=0$
(2)$(y + 2)(y - 3)=0$
(3)$(3x + 6)(2x - 4)=0$
(4)$x^{2}=x$

答案：
(1)
根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，
由$x(x - 2)=0$可得：
$x = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=2$。
(2)
根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，
由$(y + 2)(y - 3)=0$可得：
$y + 2 = 0$或$y - 3 = 0$，
解得$y_{1}=-2$，$y_{2}=3$。
(3)
根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，
由$(3x + 6)(2x - 4)=0$可得：
$3x + 6 = 0$或$2x - 4 = 0$，
由$3x + 6 = 0$，解得$x_{1}=-2$；
由$2x - 4 = 0$，解得$x_{2}=2$。
(4)
移项可得$x^{2}-x = 0$，
提取公因式$x$得$x(x - 1)=0$，
根据“若两个数的乘积为$0$，则至少其中一个数为$0$”，
可得$x = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=1$。