《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 如图,在函数 $ y = \frac{k}{x} $ 图象上任取一点 $ P $,过点 $ P $ 分别作 $ x $ 轴、$ y $ 轴的垂线,垂足为点 $ M $,$ N $,用 $ k $ 表示矩形 $ PMON $ 的面积为 $ S $,则 $ S = $.

答案： $|k|$

2. 由上可知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 中 $ |k| $ 的几何意义是什么?

答案： 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 中，过双曲线上任意一点 $ P(x,y) $ 作 $ PA \perp x $ 轴于点 $ A $，$ PB \perp y $ 轴于点 $ B $，则矩形 $ OAPB $ 的面积为 $ |x| \cdot |y| = |xy| $。
因为 $ y = \frac{k}{x} $，所以 $ xy = k $，故矩形 $ OAPB $ 的面积为 $ |k| $。
结论：$|k|$ 的几何意义是反比例函数图象上任意一点向两坐标轴作垂线，所围成的矩形的面积。

3. 若在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 图象上任取一点 $ Q $,过点 $ Q $ 向坐标轴(比如 $ y $ 轴)作垂线,垂足为 $ H $,连接 $ OQ $,那么 $ S_{Rt\triangle OHQ} = $.

答案： $\frac{|k|}{2}$（或 $ \frac{1}{2} |k|$）

1. 已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 的图象经过点 $ A(2,6) $.
(1)这个函数的图象分布在哪些象限? $ y $ 随 $ x $ 的增大如何变化?
(2)点 $ B(3,4) $,$ C\left( - 2\frac{1}{2}, - 4\frac{4}{5} \right) $,$ D(2,5) $ 是否在这个函数图象上?

答案：
(1)将点$A(2,6)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$6=\frac{k}{2}$，解得$k = 12$，函数解析式为$y=\frac{12}{x}$。因为$k=12＞0$，所以函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
(2)对于点$B(3,4)$，$3×4 = 12 = k$，在函数图象上；对于点$C\left(-2\frac{1}{2}, -4\frac{4}{5}\right)$，$-2\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$，$-4\frac{4}{5}=-\frac{24}{5}$，$\left(-\frac{5}{2}\right)×\left(-\frac{24}{5}\right)=12 = k$，在函数图象上；对于点$D(2,5)$，$2×5 = 10≠12$，不在函数图象上。
综上，点$B$、$C$在函数图象上，点$D$不在。

2. 反比例函数 $ y = \frac{m - 5}{x} $ 的图象的一支如图所示. 根据图象回答下列问题:
(1)图象的另一支位于哪个象限? 常数 $ m $ 的取值范围是什么?
(2)在这个函数图象的某一支上任取点 $ A(x_1,y_1) $ 和点 $ B(x_2,y_2) $,如果 $ x_1 ＞ x_2 $,那么 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 有怎样的大小关系?

答案：
(1) 因为反比例函数图象的一支位于第一象限，所以另一支位于第三象限。
对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），当$k＞0$时，图象位于第一、三象限。
此函数中$k = m - 5$，所以$m - 5＞0$，解得$m＞5$。
(2) 由
(1)知$k = m - 5＞0$，所以在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
因为点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$在同一支上，且$x_1＞x_2$，所以$y_1＜y_2$。
(1) 另一支位于第三象限，$m$的取值范围是$m＞5$；
(2) $y_1＜y_2$。