《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 回顾列方程解决实际问题的一般步骤,结合课前预习,给出教材问题1、问题2中方程的列法,并整理成方程右边为零、左边按未知数的降幂排列的形式.
问题1中的方程化简整理后为,
问题2中的方程化简整理后为.

答案： x²+2x-120=0；x²-40x+300=0

2. 如果一元一次方程的特点概况为一个、一次、整式,那么以上两个方程的特点可概况为、、.

答案： 一个、二次、整式

3. 我们称此类方程为一元二次方程,写出一元二次方程的定义:____.

答案： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

4. 我们把一元二次方程右边为零、左边按未知数的降幂排列的形式称为一元二次方程的一般形式,则一元二次方程的一般形式为.
注意:确定各项的系数一定要连同它前面的符号一起.

答案： $ax^2 + bx + c = 0$（$a$、$b$、$c$是常数，$a\neq0$）

5. 怎样把一元二次方程转化成一般形式呢? 请尝试将下列方程转化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数、常数项.
(1)$5x^{2} - 1 = 4x$
(2)$3x(x - 1) = 2(x + 2) + 8$

答案：
(1) 解：
原方程为 $5x^{2} - 1 = 4x$，
移项得：$5x^{2} - 4x - 1 = 0$。
所以，二次项系数为 $5$，一次项系数为 $-4$，常数项为 $-1$。
(2) 解：
原方程为 $3x(x - 1) = 2(x + 2) + 8$，
展开并整理得：$3x^{2} - 3x = 2x + 4 + 8$，
进一步整理为：$3x^{2} - 5x - 12 = 0$。
所以，二次项系数为 $3$，一次项系数为 $-5$，常数项为 $-12$。

【例】将方程 $3x(x - 1) = 5(x + 2)$ 化成一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数、常数项.

答案： 答题卡：
去括号：
$3x^{2}-3x=5x + 10$。
移项：
$3x^{2}-3x - 5x-10 = 0$。
合并同类项得一元二次方程的一般形式：
$3x^{2}-8x - 10=0$。
二次项系数为$3$；
一次项系数为$-8$；
常数项为$-10$。

变式1:若关于 $x$ 的方程 $(k + 3)x^{2} - kx + 1 = 0$ 是一元二次方程,求 $k$ 的取值范围.

答案： 要使方程$(k + 3)x^{2} - kx + 1 = 0$是一元二次方程，需满足二次项系数不为$0$，即：
$k + 3 \neq 0$
解得：$k \neq -3$
结论：$k$的取值范围是$k \neq -3$

变式2:已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 1)x^{2} - 2x + a^{2} - 1 = 0$ 有一个根为 $x = 0$,则 $a =$.

答案： $-1$

1. 下列关于 $x$ 的方程中,哪些是一元二次方程?
(1)$x^{3} - 2x^{2} + 5 = 0$ (2)$x^{2} = 1$
(3)$\frac{1}{x^{2} - 5x} + 6 = 0$ (4)$2x^{2} - x(2x + 1) = 0$
(5)$ax^{2} + bx + c = 0$ (6)$4y^{2} - \frac{1}{2}y = 1$

答案： 1
(2)
(6)是一元二次方程.