《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度 $ h(m) $ 与小球的运动时间 $ t(s) $ 之间的关系式是 $ h = 30t - 5t^{2}(0 \leqslant t \leqslant 6) $. 当小球的运动时间是多少时,小球最高? 小球运动中的最大高度是多少?
【分析】在一些涉及变量的最大值或最小值的应用问题中,可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.

答案： 解：
已知小球高度 $ h $ 与运动时间 $ t $ 的关系式为 $ h = -5t^2 + 30t $（$ 0 \leqslant t \leqslant 6 $），其中 $ a = -5 $，$ b = 30 $，$ c = 0 $。
1. 求小球达到最高点的时间：
因为 $ a = -5 ＜ 0 $，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴公式为 $ t = -\frac{b}{2a} $，代入得：
$ t = -\frac{30}{2 × (-5)} = 3 \, s $。
2. 求最大高度：
将 $ t = 3 $ 代入 $ h = -5t^2 + 30t $：
$ h = -5 × 3^2 + 30 × 3 = -5 × 9 + 90 = -45 + 90 = 45 \, m $。
结论：
当小球运动时间为 $ 3 \, s $ 时，小球最高，最大高度为 $ 45 \, m $。

1. 用总长为 $ 60 m $ 的篱笆围成矩形场地,矩形面积 $ S $ 随矩形一边长 $ l $ 的变化而变化. 当 $ l $ 是多少米时,场地的面积 $ S $ 最大?
(1) 设矩形的一边长为 $ l m $,则另一边长为 $ m $,场地的面积 $ S $ 与 $ l $ 的函数关系式为.
(2) 如何确定自变量 $ l $ 的取值范围?
(3) 当 $ l $ 是多少米时,场地的面积 $ S $ 最大?

答案：
(1)
另一边长为：$\frac{60}{2} - l = 30 - l$。
场地的面积$S$与$l$的函数关系式为：$S = l(30 - l) = 30l - l^{2}$。
(2)
由于矩形的边长必须为正数，所以有：
$l ＞ 0$，
$30 - l ＞ 0$，
从第二个不等式得到：
$l ＜ 30$，
综上，自变量$l$的取值范围为：
$0 ＜ l ＜ 30$。
(3)
对于二次函数$S = -l^{2} + 30l$，
配方得到：
$S = - (l - 15)^{2} + 225$，
由于二次项系数为负，所以函数开口向下，顶点处取得最大值。
当$l = 15$时，$S$取得最大值，即$S_{max} = 225$。
所以当$l$是$15m$时，场地的面积$S$最大。

2. 为改善小区环境,某小区决定在一块一边靠墙(墙长 $ 25 m $)的空地上修建一个矩形绿化带 $ ABCD $,绿化带一边靠墙,另三边用总长为 $ 40 m $ 的栅栏围住,如图. 设绿化带的 $ BC $ 边的边长为 $ x m $,绿化带的面积为 $ y m^{2} $.
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(2) 当 $ x $ 为何值时,绿化带的面积最大?

答案：
(1) 由题意，设BC边为平行于墙的边长，长度为$ x \, m $，则垂直于墙的边AB和CD的长度均为$ \frac{40 - x}{2} \, m $。
绿化带面积$ y = BC × AB = x \cdot \frac{40 - x}{2} $，化简得$ y = -\frac{1}{2}x^2 + 20x $。
因墙长25 m，故$ x \leq 25 $，且$ x ＞ 0 $，$ \frac{40 - x}{2} ＞ 0 $（即$ x ＜ 40 $），综上自变量$ x $的取值范围为$ 0 ＜ x \leq 25 $。
(2) 函数$ y = -\frac{1}{2}x^2 + 20x $中，$ a = -\frac{1}{2} ＜ 0 $，抛物线开口向下，对称轴为$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 × (-\frac{1}{2})} = 20 $。
因$ 20 \in (0, 25] $，故当$ x = 20 $时，$ y $取最大值。
(1) $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 20x $，$ 0 ＜ x \leq 25 $；
(2) $ x = 20 $。