《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

6. 如图，在△ABC与△ADB中，∠ABC = ∠ADB = 90°，AC = 5 cm，AB = 4 cm。如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长度。

答案： $6 AD = \frac{16}{5} cm$或$\frac{12}{5} cm($两个三角形相似对应点不同,不同边对应成比例).

7. 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，BE = DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H。
(1) 求证：△BEC∽△BCH；
(2) 如果BE² = AB·AE，求证：AG = DF。

答案： 7
(1)证明△CBE ≌ △CDF,得到∠BCE = ∠DCF;利用DC//AB,得到∠BCE = ∠H;利用两角对应相等,得到相似三角形.

1. (1) 如图，已知 $ \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C' $，根据相似的定义，我们有哪些结论？

(2) 两个三角形相似，除对应边成比例、对应角相等以外，我们还可以得到哪些结论？

答案：
(1) ①对应角相等：∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'；②对应边成比例：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$。
(2) ①对应高的比等于相似比；②对应中线的比等于相似比；③对应角平分线的比等于相似比；④周长的比等于相似比；⑤面积的比等于相似比的平方。

2. (1) 如果两个相似三角形对应边的比为 $ 3:5 $，那么它们的相似比为，对应边上高的比为，面积比为.
(2) 如果两个相似三角形面积比为 $ 3:5 $，那么它们的相似比为，对应中线的比为.
(3) 连接三角形两边中点的线段把原三角形截成的一个小三角形与原三角形的相似比等于，面积比等于.
(4) 两个相似三角形对应中线的长度分别是 $ 6 \, cm $ 和 $ 18 \, cm $，若较大三角形的面积是 $ 12 \, cm^2 $，则较小三角形的面积是 $ cm^2 $.

答案：
(1)$3:5$，$3:5$，$9:25$；
(2)$\sqrt{3}:\sqrt{5}$，$\sqrt{3}:\sqrt{5}$；
(3)$1:2$，$1:4$；
(4)$\frac{4}{3}$