《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

1. 若 $ \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C' $，相似比为 $ k $，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？

答案： 设 $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的高，$ A'D' $ 是 $ \triangle A'B'C' $ 的高。
因为 $ \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C' $，相似比为 $ k $，所以 $ \angle B = \angle B' $，$ \frac{AB}{A'B'} = k $。
又因为 $ \angle ADB = \angle A'D'B' = 90° $，所以 $ \triangle ABD \backsim \triangle A'B'D' $，故 $ \frac{AD}{A'D'} = \frac{AB}{A'B'} = k $。
同理可证，对应中线、对应角平分线的比均为 $ k $。
结论：对应高的比为 $ k $，对应中线的比为 $ k $，对应角平分线的比为 $ k $。

2. 如图，分别作 $ \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C' $ 的对应高 $ AD $ 和 $ A'D' $，对应高 $ AD $ 和 $ A'D' $ 的比和相似比 $ k $ 有什么关系？试写出推导过程.

答案：
∵△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，
∴∠B=∠B'，$\frac{AB}{A'B'}=k$。
∵AD，A'D'分别为对应高，
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°。
在△ABD和△A'B'D'中，
$\left\{\begin{array}{l}∠B=∠B'\\∠ADB=∠A'D'B'\end{array}\right.$，
∴△ABD∽△A'B'D'（两角对应相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$。
结论：对应高AD和A'D'的比等于相似比k。

3. 类似地，相似三角形对应中线、对应角平分线的比与相似比有什么关系？试写出推导过程.
一般地，我们有“相似三角形对应线段的比等于相似比”.

答案： 相似三角形对应中线的比等于相似比
已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别为△ABC、△A'B'C'的中线。
求证：AD/A'D' = k。
证明：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴AB/A'B' = BC/B'C' = k，∠B=∠B'。
∵AD、A'D'为中线，
∴BD=BC/2，B'D'=B'C'/2，
∴BD/B'D' = (BC/2)/(B'C'/2) = BC/B'C' = k。
在△ABD和△A'B'D'中，AB/A'B' = BD/B'D' = k，∠B=∠B'，
∴△ABD∽△A'B'D'（SAS）。
∴AD/A'D' = AB/A'B' = k。
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AE、A'E'分别为△ABC、△A'B'C'的角平分线。
求证：AE/A'E' = k。
证明：
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴AB/A'B' = k，∠BAC=∠B'A'C'，∠B=∠B'。
∵AE、A'E'为角平分线，
∴∠BAE=∠BAC/2，∠B'A'E'=∠B'A'C'/2，
∴∠BAE=∠B'A'E'。
在△ABE和△A'B'E'中，∠BAE=∠B'A'E'，∠B=∠B'，
∴△ABE∽△A'B'E'（AA）。
∴AE/A'E' = AB/A'B' = k。
结论
相似三角形对应中线的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比。一般地，相似三角形对应线段的比等于相似比。

4. 思考：相似三角形面积的比有什么关系？由前面的结论，我们得到 $ \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = \frac{\frac{1}{2}BC \cdot AD}{\frac{1}{2}B'C' \cdot A'D'} = \frac{BC}{B'C'} \cdot \frac{AD}{A'D'} = k \cdot k = k^2 $.
由此我们得到：相似三角形的面积比等于相似比的平方.

答案： 在相似三角形中，设 $\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$，相似比为 $k$，即对应边之比 $\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CA}{C'A'} = k$。
面积比计算如下：
$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} $
$= \frac{\frac{1}{2} × BC × AD}{\frac{1}{2} × B'C' × A'D'}$
$ = \frac{BC}{B'C'} × \frac{AD}{A'D'}$
由于 $\frac{BC}{B'C'} = k$ 且 $\frac{AD}{A'D'} = k$（高与对应边成比例），
所以 $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = k × k = k^2$。
结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方。

【例 1】如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $，$ E $，$ F $ 分别是边 $ AB $，$ BC $，$ AC $ 的中点，则 $ \triangle DEF $ 与 $ \triangle ABC $ 的面积比为().


A.$ 1:4 $
B.$ 1:3 $
C.$ 1:2 $
D.$ 1:\sqrt{2} $

答案： A

【例 2】如图，(1) 若点 $ D $，$ E $ 分别是 $ \triangle ABC $ 边 $ AB $，$ AC $ 上的点，且 $ DE // BC $，$ BD = 2AD $，则 $ \triangle ADE $ 的周长与 $ \triangle ABC $ 的周长比为.

(2) 若 $ D $，$ E $ 分别为 $ AB $，$ AC $ 边上的中点，$ DE = 4 $，则 $ BC = $.
(3) 若 $ DE // BC $，$ S_{\triangle ADE}:S_{四边形DBCE} = 1:8 $，则 $ AE:AC = $.

答案：
(1) $1:3$；
(2) $8$；
(3) $1:3$。

变式：如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ DE // BC $，$ AD:DB = 2:3 $，则 $ S_{\triangle ADE}:S_{\triangle EBC} = ($$) $.


A.$ 4:15 $
B.$ 2:3 $
C.$ 4:9 $
D.$ 4:25 $

答案： A

1. 判断对错.
(1) 如果一个三角形各边同时扩大为原来的 5 倍，那么它的对应角平分线也扩大为原来的 5 倍. (√)
(2) 如果把一个三角形的面积扩大为原来的 9 倍，那么它的三边也扩大为原来的 9 倍. (×)

答案： 1.
(1)√
(2)×