《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 解这类题目的一般步骤如下:
(1)列出二次函数的解析式,并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围.
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
流程为:审题→找出等量关系→列出函数关系式(建模)→求最值.

答案： 答题卡
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，根据经验，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，
(1)问题中有哪些变量? 其中哪些是自变量?哪些因变量？
设果园增种$x$棵橙子树，果园橙子的总产量为$y$个，求$y$关于$x$的函数解析式，并写出一个自变量$x$的取值范围；
总产量与现有树数$100$，增种树数$x$，平均每棵树的橙子数量（$600 - 5x$）之间的关系为：
$y = (100 + x)(600 - 5x)$
$= 60000 + 600x - 500x - 5x^2$
$= -5x^2 + 100x + 60000$
由于树的数量不能为负，且每棵树至少结一个橙子，所以：
$x \geq 0$，
$600 - 5x \geq 1$，
从第二个不等式得到：
$x \leq 119.8$，
由于$x$为整数，所以$x$的取值范围是：
$0 \leq x \leq 119$，且$x$为整数。
(2)利用函数图像法或公式法确定，果园应增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量最大？最大总产量是多少个？
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其顶点横坐标为$-\frac{b}{2a}$，
对于$y = -5x^2 + 100x + 60000$，有：
$a = -5, b = 100$，
所以，顶点的横坐标为：
$x = -\frac{100}{2(-5)} = 10$，
将$x=10$代入原方程得到顶点的纵坐标：
$y = -5(10^2) + 100(10) + 60000 = 60500$，
因此，当果园增种10棵橙子树时，橙子的总产量达到最大，最大总产量为60500个。

【例1】某公司经销一种绿茶,每千克成本为50元.市场调查发现,在一段时间内,销售量 $ y $(千克)随销售单价 $ x $(元/千克)的变化而变化,具体关系式为 $ y = -2x + 240 $.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为 $ w $(元),解答下列问题:
(1)求 $ w $ 与 $ x $ 的关系式.
(2)当 $ x $ 取何值时, $ w $ 的值最大?
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克,公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润,销售单价应定为多少?

答案：
(1) 解：销售利润 $w$ 等于（销售单价 $x$ - 成本单价 50）乘以销售量 $y$。
由题知$y = -2x + 240$，则：
$w = (x - 50)(-2x + 240)$
$w = -2x^2 + 240x + 100x - 12000$
$w = -2x^2 + 340x - 12000$
(2) 解：对于二次函数 $w = -2x^2 + 340x - 12000$，其开口向下，最大值出现在对称轴上，对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。
$x = -\frac{340}{2 × (-2)}$
$x = 85$
将 $x = 85$ 代入 $w$ 的表达式，得到最大利润：
$w_{max} = -2(85)^2 + 340 × 85 - 12000 = 2450 (元)$
答：当 $x = 85$ 时，$w$ 的值最大。
(3) 解：当 $w = 2250$ 时，有：
$-2x^2 + 340x - 12000 = 2250$
整理得：
$x^2 - 170x + 7125 = 0$
解得 $x_1 = 75$，$x_2 = 95$。
由于物价部门规定销售单价不得高于 90 元/千克，因此 $x_2 = 95$ 不符合要求，舍去。
答：销售单价应定为 75 元。

【例2】一名在校大学生利用“互联网+”自主创业,销售一种产品.这种产品的成本价为10元/件.已知销售价不低于成本价,物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件,市场调查发现,该产品每天的销售量 $ y $(件)与销售价 $ x $(元/件)之间的函数关系如图所示.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式,并写出自变量 $ x $ 的取值范围.
(2)求每天的销售利润 $ W $(元)与销售价 $ x $(元/件)之间的函数关系式,当每件销售价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?

答案：
(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，由图知过点(10,30)和(16,24)，代入得：
$\begin{cases}10k+b=30 \\16k+b=24\end{cases}$
解得k=-1，b=40，
∴y=-x+40，自变量x的取值范围为10≤x≤16。
(2)W=(x-10)y=(x-10)(-x+40)=-x²+50x-400，
∵a=-1＜0，对称轴x=25，又10≤x≤16，W随x增大而增大，
∴当x=16时，W最大，W=(16-10)(-16+40)=6×24=144。
(1)y=-x+40(10≤x≤16)；
(2)W=-x²+50x-400，当x=16时，最大利润144元。