《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 如图，弦AB和CD相交于⊙O内的点P。
求证：PA·PB = PC·PD。

答案： 连接AC、BD。
∵∠A与∠D都是弧BC所对的圆周角，
∴∠A=∠D。
∵∠C与∠B都是弧AD所对的圆周角，
∴∠C=∠B。
∴△APC∽△DPB（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$。
∴PA·PB=PC·PD。

3. 如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F。若AB = 4，AD = 5，AE = 6，求DF的长度。

答案： $\boxed{\dfrac{10}{3}}$

【例1】如图，在矩形ABCD中，AB = √6，AD = 5。在AD上是否存在一点P，使∠BPC = 90°？如果存在，试求出AP的长度；如果不存在，请说明理由。

答案： 存在。
设AP=x，则PD=5-x。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=√6。
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°。
∵∠A=90°，
∴∠APB+∠ABP=90°，
∴∠ABP=∠CPD。
∴△ABP∽△DPC（两角对应相等，两三角形相似）。
∴AB/DP=AP/DC，即√6/(5-x)=x/√6。
∴√6·√6=x(5-x)，即6=5x-x²。
整理得x²-5x+6=0，解得x₁=2，x₂=3。
∵0＜2＜5，0＜3＜5，均符合题意。
∴AP的长度为2或3。

变式1：如图，AC⊥AB，BE⊥AB，AB = 10，AC = 2。用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P在线段AB上滑动，一条直角边始终经过点C，另一条直角边与BE相交于点D。若BD = 8，AP的长度为多少？

答案： 2或8

变式2：如图，在正方形ABCD中，M是BC边上一个动点，N在CD上，且CN = 1/4 CD。若AB = 4，设BM = x，以A，B，M为顶点的三角形和以N，C，M为顶点的三角形相似，求x的值。

答案： $x=2$或$x=\frac{16}{5}$

1. 如图，P是Rt△ABC的斜边AB上任意一点(A，B两点除外)，过点P作一条直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似。这样的直线可以作(C)。

A.1条
B.2条
C.3条
D.4条

答案： 1 C