《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大?
【分析】甲种药品成本的年平均下降额为元,乙种药品成本的年平均下降额为元,乙种药品成本的年平均下降额较大.但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率.
解:设甲种药品成本的年平均下降率为$x$,则一年后甲种药品成本为元,两年后甲种药品成本为元,
依题意得$5000(1 - x)^2 = 3000$,
解得$x_1 \approx 0.225$,$x_2 \approx 1.775$(不合题意,舍去).

答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.
根据下表求出乙种药品的年平均下降率,比较两种药品哪个的年平均下降率大.
解上述方程得$y_1 =$,$y_2 =$.
思考:经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品的成本下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较对象的变化状况?(经计算,成本下降额较大的药品的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.)
小结:类似这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式:若平均增长(或降低)百分率为$x$,增长(或降低)前的量是$a$,增长(或降低)$n$次后的量是$b$,则它们的数量关系可表示为$a(1 \pm x)^n = b$(其中增长取“+”,降低取“-”).

答案： 1000；1200；5000(1 - x)；5000(1 - x)^2；0.225；1.775；两种药品年平均下降率相同，均约22.5%。

【例1】前年生产1吨甲产品的成本是3600元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲产品的成本是1764元.求甲产品成本的年平均下降率是多少.(注意:下降率不可为负,且不大于1.)

答案： 设甲产品成本的年平均下降率为$x$。
根据题意，前年成本为3600元，经过2年下降到1764元，可列方程：
$3600(1 - x)^2 = 1764$
方程两边同除以3600：
$(1 - x)^2 = \frac{1764}{3600}$
化简得：$(1 - x)^2 = 0.49$
开平方得：$1 - x = \pm 0.7$
当$1 - x = 0.7$时，$x = 0.3 = 30\%$；
当$1 - x = -0.7$时，$x = 1.7$（不合题意，舍去，因为下降率不大于1）。
经检验，$x = 30\%$符合题意。
答：甲产品成本的年平均下降率是30%。

变式:某药品经两次降价后,零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率(精确到0.1%).

答案： 设原价为1，每次降价的百分率为$x$，则每次降价后的价格是原价的$1-x$倍。
经过两次降价后，价格变为原来的$(1 - x)^{2}$倍。
根据题意，这个价格等于原价的一半，即：
$(1 - x)^{2} = 0.5$，
$1 - x = \pm \sqrt{0.5}$，
$x = 1 - \pm \sqrt{0.5}$，
解得$x_{1} = 1 - \sqrt{0.5} \approx 0.293$（即$29.3\%$），
$x_{2} = 1 + \sqrt{0.5}$（不符合实际情况，舍去）。
所以，每次降价的百分率约为$29.3\%$。