《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

【例】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 8\ cm$，$AC = 4\ cm$，以点$C$为圆心作圆，当半径为多长时，$AB$与$\odot O$相切？

答案： 作$CD\perp AB$于点$D$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AB = 8\ cm$，$AC = 4\ cm$。
根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2 - 4^2}= \sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ (cm)$。
根据直角三角形的面积公式：
$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$。
即$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=\frac{1}{2}×8× CD$。
$CD = 2\sqrt{3}\ (cm)$。
当$r = 2\sqrt{3}\ cm$时，直线$AB$与$\odot C$相切。
答案为$2\sqrt{3}\ cm$。

变式：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 8\ cm$，$AC = 4\ cm$，以点$C$为圆心，分别以$2\ cm$和$4\ cm$为半径作两个圆，这两个圆与$AB$有怎样的位置关系？

答案： 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AB=8\ cm$，$AC=4\ cm$。
1. 求点$C$到$AB$的距离$d$
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ cm$。
三角形面积$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot d$，
即$\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}=\frac{1}{2}×8\cdot d$，解得$d=2\sqrt{3}\approx3.464\ cm$。
2. 判断圆与$AB$的位置关系
当半径$r=2\ cm$时，$d\approx3.464\ cm＞r$，圆与$AB$相离。
当半径$r=4\ cm$时，$d\approx3.464\ cm＜r$，圆与$AB$相交。
结论：以$2\ cm$为半径的圆与$AB$相离；以$4\ cm$为半径的圆与$AB$相交。

【例2】如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 4\ cm$，$BC = 3\ cm$，以$C$为圆心、$r$为半径的圆与$AB$有怎样的关系？为什么？
(1)$r = 2\ cm$；
(2)$r = 2.4\ cm$；
(3)$r = 3\ cm$.

答案： $Rt \triangle ABC$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5(cm)$，
过$C$作$CD\bot AB$于$D$，
因为$\triangle ABC$的面积：$S = \frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot CD$，
所以$CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{3 × 4}{5} = 2.4(cm)$，
即：
(1)当$r = 2cm$时，$CD ＞ r$，$AB$与圆相离。
(2)当$r = 2.4cm$时，$CD = r$，$AB$与圆相切。
(3)当$r = 3cm$时，$CD ＜ r$，$AB$与圆相交。

1. 已知平面内有$\odot O$和点$A$，$B$，若$\odot O$的半径为$2\ cm$，线段$OA = 3\ cm$，$OB = 2\ cm$，则直线$AB$与$\odot O$的位置关系为(C).

A.相交
B.相切
C.相交或相切
D.相离

答案： 1.C

2. 半径为5的4个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线$l$的距离为4，则这个圆可以是(C).


A.$\odot O_{1}$
B.$\odot O_{2}$
C.$\odot O_{3}$
D.$\odot O_{4}$

答案： 2.C