《2025年新课堂同步学习与探究九年级数学上册人教版》

2. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分. 如图，甲在点 $ O $ 正上方 $ 1 \mathrm { ~m } $ 的 $ P $ 处发出一球，羽毛球飞行的高度 $ y ( \mathrm { ~m } ) $ 与水平距离 $ x ( \mathrm { ~m } ) $ 之间满足函数表达式 $ y = a ( x - 4 ) ^ { 2 } + h $，已知点 $ O $ 与球网的水平距离为 $ 5 \mathrm { ~m } $，球网的高度为 $ 1.55 \mathrm { ~m } $.
(1) 当 $ a = - \frac { 1 } { 24 } $ 时：①求 $ h $ 的值；②通过计算判断此球能否过网.
(2) 若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 $ O $ 的水平距离为 $ 7 \mathrm { ~m } $、离地面的高度为 $ \frac { 12 } { 5 } \mathrm { ~m } $ 的点 $ Q $ 处时，乙扣球成功，求 $ a $ 的值.

答案： $2.(1)①h=\frac{5}{3}；$②通过计算判断此球能过网。$(2)a=-\frac{1}{5}。$

3. 某跳水运动员在进行 $ 10 \mathrm { ~m } $ 跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 $ 10 \frac { 2 } { 3 } \mathrm { ~m } $，人水处距池边的距离为 $ 4 \mathrm { ~m } $，同时运动员在距水面高度 $ 5 \mathrm { ~m } $ 以前必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误.
(1) 求这条抛物线的函数关系式.
(2) 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水平距离为 $ 3 \frac { 3 } { 5 } \mathrm { ~m } $. 问：此次跳水会不会失误？说明理由.

答案： 3.解：
(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为$y=ax^{2}+bx+c。$
由题意知，O，B两点的坐标依次为(0,0)，(2，-10)，且顶点A的纵坐标为$\frac{2}{3}，$
所以$\begin{cases}c=0,\frac{4ac-b^{2}}{4a}=\frac{2}{3},\\4a+2b+c=-10,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{25}{6},\\b=\frac{10}{3},\\c=0\end{cases}$或$\begin{cases}a=-\frac{3}{2},\\b=-2,\\c=0.\end{cases}$
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴$-\frac{b}{2a}＞0。$
又
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＞0，
∴$a=-\frac{25}{6}，$$b=\frac{10}{3}，$c=0。
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{25}{6}x^{2}+\frac{10}{3}x。$
(2)要判断会不会失误，只要看运动是否在距水面高度5m以前完成规定动作，于是只要求运动员在距池边水平距离为$3\frac{3}{5}m$时的纵坐标即可。
∴横坐标为3.6-2=1.6，即当x=1.6时，
$y=(-\frac{25}{6})×(\frac{8}{5})^{2}+\frac{10}{3}×\frac{8}{5}=-\frac{16}{3}，$
此时运动员距水面的高为$10-\frac{16}{3}=\frac{14}{3}＜5。$
因此，此次试跳会出现失误。